3º Ano | Geometria Analítica: Estudo da Circunferência
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de um ponto fixo chamado centro. Essa distância constante chama-se raio ($r$). Em Geometria Analítica estudamos a circunferência por meio de sua equação cartesiana, determinando:
Aplicando a fórmula da distância $|CP| = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ e elevando ao quadrado:
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
Centro $C(a,\,b)$ | Raio $r$ | Caso especial: centro na origem → $x^2 + y^2 = r^2$
Expandindo $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ obtemos a equação geral:
$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$
onde $\;D = -2a,\quad E = -2b,\quad F = a^2+b^2-r^2$
Para encontrar centro e raio a partir da equação geral, usamos o método de completar quadrados:
Passo a passo — Exemplo: $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$
1. Agrupar os termos em $x$ e em $y$, levando a constante para a direita:
$(x^2 - 6x \hphantom{{}+9}) + (y^2 + 4y \hphantom{{}+4}) = 12$
2. Completar o quadrado de cada grupo (somando e compensando):
$(x^2 - 6x + \mathbf{9}) + (y^2 + 4y + \mathbf{4}) = 12 + \mathbf{9} + \mathbf{4}$
(O que se soma à esquerda soma-se também à direita.)
3. Escrever como quadrados perfeitos:
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$
4. Leitura: $C(3, -2)$ e $r = 5$.
| Forma | Exemplo | Vantagem | Como obter $C$ e $r$ |
|---|---|---|---|
| Reduzida | $(x-3)^2+(y+1)^2=16$ | Leitura imediata | $C(3,-1)$; $r=4$ |
| Geral | $x^2+y^2-6x+2y-6=0$ | Resultado de contas | Completar quadrados |
Para um ponto $P(x_0,y_0)$ e a circunferência de centro $C(a,b)$ e raio $r$, calcula-se a expressão $\delta = (x_0-a)^2+(y_0-b)^2$ e compara-se com $r^2$:
| Condição | Posição de $P$ | Interpretação geométrica |
|---|---|---|
| $\delta < r^2$ | Interior da circunferência | $P$ está dentro do disco |
| $\delta = r^2$ | Sobre a circunferência | $P$ pertence à curva |
| $\delta > r^2$ | Exterior da circunferência | $P$ está fora do disco |
Calcula-se a distância $d$ do centro $C(a,b)$ à reta $\ell x + my + n = 0$ e compara-se com o raio $R$:
$$d = \frac{|\ell a + mb + n|}{\sqrt{\ell^2 + m^2}}$$
| Condição | Posição relativa | Pontos em comum | Segmento de corda |
|---|---|---|---|
| $d < R$ | Secante | 2 pontos distintos | Existe corda real |
| $d = R$ | Tangente | 1 ponto (tangência) | Corda nula (ponto) |
| $d > R$ | Externa | Nenhum | — |
Dadas duas circunferências de centros $C_1$, $C_2$ e raios $r_1 \geq r_2 > 0$, sendo $d = |C_1C_2|$ a distância entre centros:
| Condição | Posição Relativa | Pontos Comuns |
|---|---|---|
| $d > r_1 + r_2$ | Externas (disjuntas) | 0 |
| $d = r_1 + r_2$ | Externamente tangentes | 1 (externo) |
| $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ | Secantes (2 pontos) | 2 |
| $d = r_1 - r_2$ | Internamente tangentes | 1 (interno) |
| $0 < d < r_1 - r_2$ | Interna (uma dentro da outra) | 0 |
| $d = 0$ e $r_1 = r_2$ | Coincidentes | Infinitos |
| $d = 0$ e $r_1 \neq r_2$ | Concêntricas | 0 |
A reta tangente a uma circunferência num ponto de tangência $T$ é perpendicular ao raio $\overrightarrow{CT}$ nesse ponto.
Para a circunferência com centro na origem $x^2+y^2=r^2$:
$$x_0\,x + y_0\,y = r^2$$
Para a circunferência com centro $C(a,b)$, forma $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$:
$$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$$
Método: Escreve-se a reta como $y - y_1 = m(x-x_1)$ e substitui-se na equação da circunferência. Impõe-se $\Delta = 0$ e resolve-se em $m$. Há sempre duas tangentes de um ponto externo.
O comprimento do segmento de tangência de um ponto externo $P(x_1,y_1)$ até o ponto de tangência $T$ é:
$$|PT| = \sqrt{(x_1-a)^2+(y_1-b)^2 - r^2} = \sqrt{d^2 - r^2}$$
onde $d = |CP|$ é a distância do ponto externo ao centro.
Três pontos não colineares determinam uma única circunferência. Para encontrá-la, substitui-se cada ponto na equação geral $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$, formando um sistema 3×3.
Exemplo: Encontrar a circunferência que passa por $A(1,0)$, $B(0,2)$ e $C(-1,0)$.
Substituindo $A$: $1 + D + F = 0$
Substituindo $B$: $4 + 2E + F = 0$
Substituindo $C$: $1 - D + F = 0$
De $A$ e $C$: $2D = 0 \Rightarrow D = 0$;
de $A$: $F = -1$;
de $B$: $4 + 2E - 1 = 0 \Rightarrow E = -\tfrac{3}{2}$
Equação geral: $x^2 + y^2 - \tfrac{3}{2}y - 1 = 0$ →
completando quadrados: $x^2 + \left(y - \tfrac{3}{4}\right)^2 = \tfrac{25}{16}$
Centro $C\!\left(0,\,\tfrac{3}{4}\right)$ e raio $r = \tfrac{5}{4}$.
A área de cobertura de uma antena de celular ou Wi-Fi é modelada por uma circunferência. A equação da curva determina quais endereços estão dentro do raio de sinal.
Cada satélite GPS define uma circunferência de possíveis posições. A interseção de três circunferências (no plano) determina a localização exata do receptor.
Engrenagens, rolamentos e pistões possuem perfis circulares. As equações de circunferência garantem encaixes precisos e tolerâncias dentro das especificações de projeto.
Cúpulas, arcos, fontes e pistas circulares são projetados com auxílio da geometria analítica da circunferência, garantindo simetria e precisão construtiva.
Enunciado: Escreva a equação reduzida da circunferência com centro $C(-2, 5)$ e que passa pelo ponto $P(2, 2)$.
Resolução:
Raio $= |CP| = \sqrt{(2-(-2))^2+(2-5)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$
Equação: $(x+2)^2+(y-5)^2=25$
$(x+2)^2+(y-5)^2=25$
Enunciado: Determine centro e raio de $x^2+y^2-8x+6y+16=0$.
Resolução:
$(x^2-8x+16)+(y^2+6y+9)=-16+16+9$
$(x-4)^2+(y+3)^2=9$
Centro $C(4,-3)$, raio $r=3$.
Enunciado: Classifique os pontos $A(0,0)$, $B(3,4)$ e $C(6,8)$ em relação à circunferência $(x-3)^2+(y-4)^2=25$.
Resolução: ($r^2=25$)
$A$: $(0-3)^2+(0-4)^2 = 9+16 = 25 = r^2$ → na curva
$B$: $(3-3)^2+(4-4)^2 = 0 < 25$ → interior (é o centro!)
$C$: $(6-3)^2+(8-4)^2 = 9+16 = 25 = r^2$ → na curva
Enunciado: Verifique a posição da reta $4x-3y+25=0$ em relação à circunferência $(x+1)^2+(y-2)^2=25$.
Resolução:
Centro $C(-1,2)$, raio $R=5$.
$d = \dfrac{|4(-1)-3(2)+25|}{\sqrt{16+9}} = \dfrac{|-4-6+25|}{5} = \dfrac{15}{5} = 3$
Como $d=3 < R=5$: a reta é secante (corta a circunferência em 2 pontos).
Enunciado: Encontre a equação da reta tangente à circunferência $x^2+y^2=50$ no ponto $T(5,-5)$.
Resolução:
Verificando: $5^2+(-5)^2=25+25=50$ ✓
Tangente: $x_0 x + y_0 y = r^2 \Rightarrow 5x + (-5)y = 50$
Simplificando ÷5: $x - y = 10$
Equação da tangente: $x - y = 10$
Enunciado: Escreva a equação reduzida e a equação geral da circunferência de centro $C(4,-3)$ e raio $r=6$.
Enunciado: A equação $x^2+y^2-4x+2y+8=0$ representa uma circunferência real, um ponto ou é vazia?
Enunciado: Para que valor de $k$ a reta $y = x + k$ é tangente à circunferência $x^2+y^2=8$?
Enunciado: Calcule o comprimento do segmento de tangência a partir do ponto $P(7,1)$ à circunferência $(x-3)^2+(y-4)^2=9$.
Enunciado: Determine a posição relativa de $\gamma_1: x^2+y^2=36$ e $\gamma_2: (x-10)^2+y^2=16$.
A equação $x^2+y^2-2x+4y-20=0$ representa uma circunferência de centro $C$ e raio $r$. Assinale a alternativa correta.
A) $C(1,-2)$, $r=5$ B) $C(-1,2)$, $r=5$ C) $C(1,-2)$, $r=25$ D) $C(2,-4)$, $r=5$ E) $C(1,-2)$, $r=\sqrt{5}$
Uma prefeitura instalou duas antenas de wi-fi público com coordenadas $A(0,0)$ e $B(12,0)$ (em km) e raios de cobertura $r_A=8$ km e $r_B=6$ km. Há sobreposição de sinal?
A) Sim, pois $d=12$ e $r_A+r_B=14$ B) Não, pois $d=12$ e $r_A+r_B=14$ C) Sim, pois as antenas são coincidentes D) Não, pois $d>r_A$ E) Sim, pois $d=r_A+r_B$
A equação da reta tangente à circunferência $x^2+y^2-4x-6y+8=0$ no ponto $T(1,1)$ é:
A) $x+2y=3$ B) $x-y+2=0$ C) $x+2y+3=0$ D) $x-y=0$ E) $2x+y=3$
A circunferência que passa pelos pontos $O(0,0)$, $A(4,0)$ e $B(0,6)$ tem raio igual a:
A) $\sqrt{13}$ B) $2\sqrt{13}$ C) $\sqrt{52}$ D) $\dfrac{\sqrt{52}}{2}$ E) $5$
Para que a reta $y = x + k$ seja externa à circunferência $x^2+y^2=9$, o valor de $k$ deve satisfazer:
A) $|k|<3\sqrt{2}$ B) $|k|>3\sqrt{2}$ C) $k>3$ D) $|k|=3\sqrt{2}$ E) $k<-3$