2º Ano | Aula: Cilindros — Definição, Área, Volume e Aplicações
O cilindro é um sólido de revolução com duas bases circulares paralelas e congruentes, ligadas por uma superfície lateral curva. É gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados.
Área lateral: $A_L = 2\pi r h$ | Área total: $A_T = 2\pi r(r + h)$ | Volume: $V = \pi r^2 h$
Cilindro equilátero ($h = 2r$): $A_T = 6\pi r^2$ | $V = 2\pi r^3$
Conversão: $1\,\text{dm}^3 = 1\,\text{L}$ | $1\,\text{cm}^3 = 1\,\text{mL}$ | $1\,\text{m}^3 = 1000\,\text{L}$
O cilindro circular reto é o sólido de revolução gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados. Seus elementos são:
| Tipo | Característica | Relação $g$ e $h$ |
|---|---|---|
| Reto | Geratrizes perpendiculares às bases | $g = h$ |
| Oblíquo | Geratrizes oblíquas às bases | $g \neq h$ |
| Equilátero | Cilindro reto com $h = 2r$ (altura = diâmetro) | $g = 2r$ |
A planificação do cilindro deixa claro de onde vêm as fórmulas. A lateral vira um retângulo; as bases são dois círculos:
$A_L = 2\pi r h$
$A_T = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(r + h)$
Exemplo 1 — Cálculo direto: Cilindro com $r = 5\,\text{cm}$ e $h = 12\,\text{cm}$.
$A_L = 2\pi \cdot 5 \cdot 12 = 120\pi \approx 376{,}99\,\text{cm}^2$
$A_T = 2\pi \cdot 5 \cdot (5 + 12) = 170\pi \approx 534{,}07\,\text{cm}^2$
Exemplo 2 — Determinar $r$ a partir de $A_L$: $A_L = 80\pi\,\text{cm}^2$, $h = 10\,\text{cm}$.
$2\pi r \cdot 10 = 80\pi \Rightarrow 20\pi r = 80\pi \Rightarrow r = 4\,\text{cm}$
O volume do cilindro segue o mesmo raciocínio de qualquer prisma: área da base × altura. Isso é garantido pelo Princípio de Cavalieri — sólidos com mesma altura e mesmas seções transversais têm o mesmo volume, independentemente de serem retos ou oblíquos.
$$V = \pi r^2 h$$
$r$ = raio da base | $h$ = altura perpendicular (mesmo no oblíquo!)
Exemplo — Caixa d'água: Cilindro com $d = 2\,\text{m}$ e $h = 1{,}5\,\text{m}$.
Convertendo: $r = 1\,\text{m} = 10\,\text{dm}$; $h = 15\,\text{dm}$.
$V = \pi \cdot 100 \cdot 15 = 1500\pi \approx 4712\,\text{dm}^3 = \mathbf{4712}$ litros
O cilindro equilátero tem $h = 2r$ (altura igual ao diâmetro). Ao planificar a lateral, o retângulo formado é um quadrado de lado $2\pi r$. Entre todos os cilindros de mesmo volume, é o que possui a menor área total — máxima eficiência de material.
Cilindro equilátero ($h = 2r$):
$V = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$ $A_T = 2\pi r(r + 2r) = 6\pi r^2$
Exemplo: Cilindro equilátero com $r = 4\,\text{cm}$.
$h = 2 \times 4 = 8\,\text{cm}$
$V = 2\pi \cdot 64 = 128\pi \approx 402{,}1\,\text{cm}^3$
$A_T = 6\pi \cdot 16 = 96\pi \approx 301{,}6\,\text{cm}^2$
| Unidade | Em $\text{m}^3$ | Em $\text{dm}^3$ (L) | Em $\text{cm}^3$ (mL) |
|---|---|---|---|
| $1\,\text{m}^3$ | $1$ | $1.000$ | $1.000.000$ |
| $1\,\text{dm}^3$ | $0{,}001$ | $1$ (= 1 L) | $1.000$ |
| $1\,\text{cm}^3$ | $10^{-6}$ | $0{,}001$ | $1$ (= 1 mL) |
Um problema clássico de vestibular é comparar o volume de um cilindro inscrito num cubo com o volume do próprio cubo:
Variação dimensional: Se o raio dobrar e a altura for reduzida à metade, o que acontece com o volume?
$V' = \pi(2r)^2 \cdot \dfrac{h}{2} = \pi \cdot 4r^2 \cdot \dfrac{h}{2} = 2\pi r^2 h = 2V$
O volume dobra. O raio tem efeito quadrático e domina sobre a redução linear da altura.
O cilindro é uma das formas geométricas mais eficientes e presentes na natureza e na indústria:
Latas de alimentos e bebidas têm formato cilíndrico. A área total determina a quantidade de alumínio usada; o volume determina a capacidade. O cilindro equilátero usa o mínimo de material para um dado volume.
Reservatórios e canos têm geometria cilíndrica. O cálculo da capacidade de uma caixa d'água e a vazão de água em tubulações usam diretamente $V = \pi r^2 h$ convertido para litros.
Pilares circulares de concreto e colunas são cilindros. O volume de concreto para um pilar de raio $r$ e altura $h$ é $V = \pi r^2 h$ — base direta para orçamento e compra de material.
Enunciado: Calcule a área lateral e a área total de um cilindro reto com $r = 3\,\text{cm}$ e $h = 7\,\text{cm}$.
Resolução:
$A_L = 2\pi \cdot 3 \cdot 7 = 42\pi \approx 131{,}95\,\text{cm}^2$
$A_T = 2\pi \cdot 3 \cdot (3 + 7) = 60\pi \approx 188{,}50\,\text{cm}^2$
Enunciado: Um cilindro tem diâmetro $d = 20\,\text{cm}$ e altura $h = 50\,\text{cm}$. Calcule o volume em cm³ e a capacidade em litros.
Resolução: $r = 10\,\text{cm}$
$V = \pi \cdot 100 \cdot 50 = 5000\pi \approx 15707{,}96\,\text{cm}^3$
Em litros: $\dfrac{5000\pi}{1000} = 5\pi \approx \mathbf{15{,}71}$ litros
Enunciado: Um cilindro tem $r = 5\,\text{cm}$ e volume $V = 400\pi\,\text{cm}^3$. Qual é a altura?
Resolução:
$\pi r^2 h = 400\pi \Rightarrow 25h = 400 \Rightarrow h = \mathbf{16}\,\text{cm}$
Enunciado: Um cilindro equilátero tem área total $A_T = 54\pi\,\text{cm}^2$. Determine o raio, a altura e o volume.
Resolução: $A_T = 6\pi r^2 = 54\pi \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3\,\text{cm}$
$h = 2r = 6\,\text{cm}$
$V = \pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi \approx 169{,}65\,\text{cm}^3$
Enunciado: Um cilindro está inscrito em um cubo de aresta $a = 10\,\text{cm}$. Calcule o volume do cilindro e a porcentagem do volume do cubo que ele ocupa.
Resolução: $r = 5\,\text{cm}$; $h = 10\,\text{cm}$
$V_{cil} = \pi \cdot 25 \cdot 10 = 250\pi\,\text{cm}^3$
$V_{cubo} = 1000\,\text{cm}^3$
$\dfrac{V_{cil}}{V_{cubo}} = \dfrac{250\pi}{1000} = \dfrac{\pi}{4} \approx \mathbf{78{,}5\%}$
Enunciado: Um cilindro reto tem $h = 7\,\text{cm}$ e $A_T = 60\pi\,\text{cm}^2$. Determine o raio.
Enunciado: O cilindro A tem $r = 4\,\text{cm}$ e $h = 9\,\text{cm}$; o B tem $r = 6\,\text{cm}$ e $h = 4\,\text{cm}$. Qual tem maior volume?
Enunciado: Um recipiente cilíndrico sem tampa tem $r = 15\,\text{cm}$ e $h = 30\,\text{cm}$. Quantos cm² de chapa são necessários?
Enunciado: Uma caixa d'água cilíndrica tem $d = 2\,\text{m}$ e $h = 1{,}8\,\text{m}$. Quantos litros ela comporta? (use $\pi \approx 3{,}14$)
Enunciado: Se o raio de um cilindro for triplicado e a altura reduzida a um terço, por quanto o volume é multiplicado?
Enunciado: Um cilindro reto tem raio $r = 3\,\text{cm}$ e altura $h = 4\,\text{cm}$. O volume, em $\text{cm}^3$, é:
Enunciado: Uma lata cilíndrica tem diâmetro $10\,\text{cm}$ e altura $15\,\text{cm}$. A área de alumínio usada (área total) em $\text{cm}^2$ é:
Enunciado: Um reservatório cilíndrico tem $r = 5\,\text{dm}$ e $h = 8\,\text{dm}$. Sua capacidade em litros é:
Enunciado: Um cilindro está inscrito num cubo de aresta $2r$. A razão $\dfrac{V_{\text{cilindro}}}{V_{\text{cubo}}}$ é:
Enunciado: Um cilindro equilátero tem área total $96\pi\,\text{cm}^2$. A altura desse cilindro é: