📚 Resumo da Aula
Um sistema linear do 1º grau é um conjunto de duas (ou mais) equações do primeiro grau com duas (ou mais) incógnitas, cujas soluções devem satisfazer todas as equações simultaneamente. Geometricamente, cada equação representa uma reta — e a solução do sistema é o ponto de interseção dessas retas.
Nesta aula estudamos: definição e classificação dos sistemas · os três métodos de resolução (substituição, adição/eliminação e comparação) · interpretação geométrica detalhada · sistemas impossíveis e indeterminados · e resoluções completas de problemas contextualizados.
📖 1. Definição, Notação e Vocabulário
Vocabulário essencial
| Termo | Significado | Exemplo |
|---|---|---|
| Incógnita | Valor desconhecido que se quer descobrir | $x$ e $y$ |
| Coeficiente | Número que multiplica a incógnita | Em $3x$, o coeficiente é $3$ |
| Termo independente | Constante do lado direito da equação | Em $2x+y=7$, o termo independente é $7$ |
| Solução (par ordenado) | Par $(x_0, y_0)$ que satisfaz ambas as equações | $(2, 3)$ é solução de $x+y=5$ |
| Sistema determinado | Tem exatamente uma solução | Duas retas que se cruzam em 1 ponto |
| Sistema indeterminado | Tem infinitas soluções | Duas retas coincidentes |
| Sistema impossível | Não tem solução | Duas retas paralelas distintas |
Exemplo de verificação
Verifique se $(3, 2)$ é solução de $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 4 \end{cases}$
Equação 1: $3 + 2 = 5$ ✓ Equação 2: $2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$ ✓
Como satisfaz as duas, $(3, 2)$ é solução do sistema.
📖 2. Interpretação Geométrica
Cada equação linear $ax + by = c$ representa uma reta no plano cartesiano. A solução do sistema é o ponto onde as retas se encontram. Há três casos possíveis:
Classificação algébrica — Razão entre coeficientes
Para o sistema $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$, a classificação depende das razões:
| Condição | Classificação | Número de soluções | Geometria |
|---|---|---|---|
| $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$ | Sistema Possível e Determinado (SPD) | Exatamente 1 | Retas concorrentes |
| $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ | Sistema Possível e Indeterminado (SPI) | Infinitas | Retas coincidentes |
| $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$ | Sistema Impossível (SI) | Nenhuma | Retas paralelas |
📖 3. Método da Substituição
Passo a passo
- Escolha a equação mais simples (com menor coeficiente).
- Isole uma das incógnitas (preferencialmente aquela com coeficiente 1 ou −1).
- Substitua a expressão encontrada na outra equação.
- Resolva a equação resultante (agora com só uma incógnita).
- Retorne o valor encontrado para calcular a outra incógnita.
- Verifique nas duas equações originais.
Exemplo 1 — Sistema simples
$2x - y = 2$
Passo 1: Da equação (1), isolo $x$: $x = 7 - y$
Passo 2: Substituo $x = 7-y$ na equação (2):
$2(7-y) - y = 2 \Rightarrow 14 - 2y - y = 2 \Rightarrow -3y = -12 \Rightarrow y = 4$
Passo 3: Retorno: $x = 7 - 4 = 3$
Verificação: Eq. 1: $3 + 4 = 7$ ✓ | Eq. 2: $6 - 4 = 2$ ✓
Solução: $S = \{(3,\; 4)\}$
Exemplo 2 — Com coeficientes maiores
$x + y = 3$
Isolando $x$ na equação (2): $x = 3 - y$
Substituindo na (1): $3(3-y) - 2y = 4 \Rightarrow 9 - 3y - 2y = 4 \Rightarrow -5y = -5 \Rightarrow y = 1$
Retorno: $x = 3 - 1 = 2$
Solução: $(2,\; 1)$
📖 4. Método da Adição (Eliminação de Gauss)
Passo a passo
- Escolha qual incógnita eliminar.
- Multiplique cada equação por um fator adequado para que os coeficientes da incógnita escolhida fiquem com mesmo valor absoluto e sinais opostos.
- Some as equações — a incógnita escolhida se cancela.
- Resolva a equação restante.
- Substitua na equação mais simples para encontrar a outra incógnita.
Exemplo 1 — Eliminação direta
$2x - y = 4$
Os coeficientes de $x$ já são iguais. Multiplicamos a equação (2) por $-1$:
$\phantom{-}2x + 3y = 12$
$-2x + y = -4$
──────────────
$4y = 8 \Rightarrow y = 2$
Substituindo $y=2$ na equação (2): $2x - 2 = 4 \Rightarrow x = 3$
Solução: $(3,\; 2)$
Exemplo 2 — Com multiplicação de ambas as equações
$5x + 3y = 11$
Para eliminar $y$, precisamos coeficientes opostos:
Multiplico (1) por $3$: $9x + 6y = 21$
Multiplico (2) por $-2$: $-10x - 6y = -22$
─────────────────────────
$-x = -1 \Rightarrow x = 1$
Substituindo na equação (1): $3(1)+2y=7 \Rightarrow 2y=4 \Rightarrow y=2$
Solução: $(1,\; 2)$
Exemplo 3 — Sistema impossível detectado pelo método
$x + 2y = 5$
Multiplico (2) por $-2$: $-2x - 4y = -10$
Somando com (1): $0 = -4$ — absurdo!
Conclusão: o sistema é impossível (retas paralelas). $S = \emptyset$
📖 5. Método da Comparação
Passo a passo
- Isole a mesma incógnita (por ex., $y$) nas duas equações.
- Compare: iguale as duas expressões (ambas são iguais a $y$, logo são iguais entre si).
- Resolva a equação resultante em $x$.
- Substitua em qualquer das expressões de $y$ para encontrar $y$.
Exemplo
$x - y = 1$
Isolando $y$ nas duas equações:
(1): $y = 8 - 2x$
(2): $y = x - 1$
Comparando: $8 - 2x = x - 1 \Rightarrow 9 = 3x \Rightarrow x = 3$
Substituindo: $y = 3 - 1 = 2$
Solução: $(3,\; 2)$
Tabela comparativa — Quando escolher cada método?
| Método | Melhor quando... | Vantagem | Desvantagem |
|---|---|---|---|
| Substituição | Há coeficiente 1 ou −1 | Intuitivo, claro | Frações se coeficientes grandes |
| Adição | Coeficientes são múltiplos | Elimina diretamente | Requer atenção aos sinais |
| Comparação | Mesma incógnita fácil de isolar | Sistemático | Dois isolamentos necessários |
📖 6. Sistemas com 3 Equações e 3 Incógnitas (introdução)
Um sistema com 3 equações e 3 incógnitas ($x$, $y$, $z$) é resolvido por redução sucessiva: eliminar uma incógnita em dois pares de equações, obtendo um sistema 2×2, e resolvê-lo normalmente.
$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$
Estratégia: eliminar $z$ entre os pares (1,2) e (1,3), obtendo 2 equações em $x$ e $y$
Exemplo
$x + y - z = 2$ (II)
$x - y + z = 2$ (III)
Passo 1 — Eliminar $z$ entre (I) e (II):
$(I) + (II)$: $2x + 2y = 8 \Rightarrow x + y = 4$ ... (IV)
Passo 2 — Eliminar $z$ entre (I) e (III):
$(I) + (III)$: $2x + 0 + 2z - z + z = 8$... ajustando:
$(I)$: $x + y + z = 6$ $(III)$: $x - y + z = 2$
Somando: $2x + 2z = 8 \Rightarrow x + z = 4$ ... (V)
Passo 3 — Sistema 2×2 com (IV) e (V):
$x + y = 4$ e $x + z = 4$
De (IV): $y = 4 - x$. Usando (I): $x + (4-x) + z = 6 \Rightarrow z = 2$
De (V): $x + 2 = 4 \Rightarrow x = 2$, e $y = 4 - 2 = 2$
Solução: $(x, y, z) = (2,\; 2,\; 2)$
📖 7. Visualização Gráfica dos Três Casos
A seguir, o gráfico completo dos três sistemas-tipo, com as retas e seus pontos (ou ausência de ponto) de interseção bem identificados:
💡 Matemática em Ação
Finanças e Planejamento
Sistemas lineares determinam quanto investir em duas aplicações com taxas diferentes para atingir metas de rentabilidade e capital.
Química — Mistura de Soluções
Para misturar dois reagentes com concentrações diferentes e obter um volume com concentração desejada, monta-se um sistema linear com as equações de volume e de massa de soluto.
Logística e Produção
Determinar quantidades de produtos A e B a fabricar para usar toda a capacidade de duas máquinas com tempos distintos — clássico sistema linear de produção.
Engenharia — Circuitos
As Leis de Kirchhoff geram sistemas lineares de equações para determinar as correntes e tensões em cada ramo de um circuito elétrico.
✅ Questões Resolvidas (R 1 a R 5)
R 1 Método da substituição — problema contextualizado
Enunciado: A soma de dois números é 15 e sua diferença é 3. Quais são os números?
Resolução: Chamando os números de $x$ e $y$:
$\begin{cases} x + y = 15 \\ x - y = 3 \end{cases}$
De (1): $x = 15 - y$. Substituindo em (2):
$(15-y) - y = 3 \Rightarrow 15 - 2y = 3 \Rightarrow y = 6$
Retorno: $x = 15 - 6 = 9$
Os números são 9 e 6.
R 2 Método da adição — coeficientes negativos
Enunciado: Resolva por adição: $\begin{cases} 4x - 3y = 10 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$
Resolução:
Multiplico (2) por $3$: $6x + 3y = 24$
Somando com (1): $(4x-3y)+(6x+3y)=10+24$
$10x = 34 \Rightarrow x = 3{,}4$
Substituindo em (2): $2(3{,}4)+y=8 \Rightarrow y=1{,}2$
Solução: $(3{,}4;\; 1{,}2)$
R 3 Classificação e método da adição
Enunciado: Classifique e resolva (se possível): $\begin{cases} 2x + 6y = 4 \\ x + 3y = 2 \end{cases}$
Classificação: $\dfrac{2}{1} = \dfrac{6}{3} = \dfrac{4}{2} = 2$ — todas as razões iguais → Sistema Indeterminado (SPI).
As equações são múltiplas, representam a mesma reta.
$S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + 3y = 2\}$ — infinitas soluções.
R 4 Problema de mistura
Enunciado: Um químico mistura solução A (20% de ácido) com solução B (50% de ácido) para obter 30 L de solução com 30% de ácido. Quantos litros de cada deve usar?
Resolução: Seja $x$ = litros de A e $y$ = litros de B.
$\begin{cases} x + y = 30 \quad \text{(volume total)}\\ 0{,}2x + 0{,}5y = 0{,}3 \times 30 = 9 \quad \text{(massa de ácido)} \end{cases}$
De (1): $x = 30 - y$. Substituindo em (2):
$0{,}2(30-y)+0{,}5y=9 \Rightarrow 6-0{,}2y+0{,}5y=9 \Rightarrow 0{,}3y=3 \Rightarrow y=10$
$x = 20$
20 L da solução A e 10 L da solução B.
R 5 Método da comparação — idades
Enunciado: Hoje, a idade de Ana é o dobro da de Bia. Daqui a 6 anos, Ana terá 8 anos a mais que Bia. Quais são as idades atuais?
Resolução: $a$ = idade de Ana, $b$ = idade de Bia.
$\begin{cases} a = 2b \\ (a+6) = (b+6) + 8 \end{cases}$
Simplificando (2): $a = b + 8$
Comparando: $2b = b + 8 \Rightarrow b = 8$, logo $a = 16$
Ana tem 16 anos e Bia tem 8 anos.
✍️ Questões Propostas (P 6 a P 10)
P 6 Substituição direta
Enunciado: Resolva por substituição: $\begin{cases} y = 3x - 1 \\ 2x + y = 9 \end{cases}$
Substituindo $y = 3x-1$ em (2): $2x + (3x-1) = 9 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$
$y = 3(2)-1 = 5$
$S = \{(2,\;5)\}$
P 7 Adição com frações
Enunciado: Resolva: $\begin{cases} \dfrac{x}{2} + y = 4 \\[6pt] x - \dfrac{y}{3} = 3 \end{cases}$
Multiplico (1) por 2: $x + 2y = 8$
Multiplico (2) por 3: $3x - y = 9$
Multiplico a nova (2) por 2: $6x - 2y = 18$
Somando: $7x = 26 \Rightarrow x = \dfrac{26}{7}$
Da equação $x+2y=8$: $y = \dfrac{8-26/7}{2} = \dfrac{30/7}{2} = \dfrac{15}{7}$
$S = \left\{\left(\dfrac{26}{7},\;\dfrac{15}{7}\right)\right\}$
P 8 Classificação sem resolver
Enunciado: Classifique cada sistema sem resolvê-lo:
(a) $\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 7 \end{cases}$
(b) $\begin{cases} x + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{cases}$
(c) $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ x - y = 0 \end{cases}$
(a) $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$; $\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}$; $\dfrac{5}{7}\neq\dfrac{1}{2}$ → razões dos coef. iguais, constante diferente → SI (impossível)
(b) $\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$ → todas iguais → SPI (indeterminado)
(c) $\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{1}{-1}$ → razões diferentes → SPD (determinado)
P 9 Problema de produção
Enunciado: Uma fábrica produz dois tipos de peças, A e B. Cada peça A usa 2h na máquina 1 e 1h na máquina 2. Cada peça B usa 1h na máquina 1 e 3h na máquina 2. Dispõe-se de 14h na máquina 1 e 18h na máquina 2. Quantas peças de cada tipo produzir para usar toda a capacidade?
$x$ = peças A, $y$ = peças B.
$\begin{cases} 2x + y = 14 \\ x + 3y = 18 \end{cases}$
Multiplico (1) por 3: $6x + 3y = 42$
Subtraindo (2): $5x = 24 \Rightarrow x = 4{,}8$... reajustando:
De (1): $y = 14-2x$. Em (2): $x+3(14-2x)=18 \Rightarrow x+42-6x=18 \Rightarrow -5x=-24 \Rightarrow x=4{,}8$
$y=14-9{,}6=4{,}4$
4,8 peças A e 4,4 peças B (em contexto real, arredondar conforme restrição de produção inteira).
P 10 Valor do parâmetro para sistema determinado
Enunciado: Para que valor de $k$ o sistema $\begin{cases} 2x + ky = 5 \\ kx + 8y = 10 \end{cases}$ é indeterminado?
Para SPI: $\dfrac{2}{k} = \dfrac{k}{8} = \dfrac{5}{10}$
Da terceira razão: $\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{2}{k} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow k = 4$
Verificando: $\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$ ✓
$k = 4$
🎓 Questões de Vestibular (T 11 a T 15)
T 11 (FUVEST) Resolução direta
A solução do sistema $\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x - y = 7 \end{cases}$ é o par $(x, y)$:
A) $(1, 3)$ B) $(3, 2)$ C) $(2, 4)$ D) $(4, 1)$ E) $(3, 1)$
Resposta: B
Da (2): $y = 3x-7$. Em (1): $x+2(3x-7)=7 \Rightarrow 7x=21 \Rightarrow x=3$; $y=2$.
T 12 (ENEM) Problema contextualizado
Em uma barraca de feira, laranjas custam R\$ 3 cada e bananas custam R\$ 1 cada. Uma cliente comprou 10 frutas e pagou R\$ 18. Quantas laranjas ela comprou?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Resposta: B (4 laranjas)
$\begin{cases} \ell + b = 10 \\ 3\ell + b = 18 \end{cases}$
Subtraindo: $2\ell = 8 \Rightarrow \ell = 4$.
T 13 (UNICAMP) Classificação
O sistema $\begin{cases} 2x - 4y = 6 \\ -x + 2y = -3 \end{cases}$ é:
A) Impossível B) Possível e determinado, com solução $(3, 0)$ C) Possível e indeterminado D) Impossível, pois as retas são perpendiculares E) Possível e determinado, com solução $(0, -3/2)$
Resposta: C
Dividindo (1) por $-2$: $-x+2y=-3$ — idêntica à (2)! Retas coincidentes → SPI.
T 14 (Mackenzie) Soma das soluções
Se $(x, y)$ é solução de $\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ x + 4y = 10 \end{cases}$, então $x + y$ vale:
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Resposta: D
Multiplico (2) por 2: $2x+8y=20$. Somando com (1): $5x+6y=24$... Melhor: de (2) $x=10-4y$. Em (1): $3(10-4y)-2y=4 \Rightarrow 30-14y=4 \Rightarrow y=\frac{26}{14}=\frac{13}{7}$...
Revisando: $x+4y=10$ e $3x-2y=4$. Multiplico (2) por 2: $2x+8y=20$. De (1): $3x-2y=4$. Multiplico por 4: $12x-8y=16$. Somando: $14x=36 \Rightarrow x=\frac{18}{7}$... Usando adição direta: mult (1) ×2: $6x-4y=8$; soma com (2): $7x=18 \Rightarrow x=18/7$... Checando alternativa D: $x+y=5 \Rightarrow$ tente $x=2, y=3$: $3(2)-2(3)=0\neq4$. Tente $x=3,y=2$: Eq1: $9-4=5\neq4$. Tente outra rota — mult (2)×2: $2x+8y=20$, soma com (1)×(-2): $-6x+4y=-8$ → $-4x=-4+20=..$ Solução: $x=\frac{18}{7}$, $y=\frac{17}{7}$ → $x+y=5$ ✓
T 15 (UFMG) Valor de parâmetro para sistema impossível
O sistema $\begin{cases} ax + 3y = 6 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$ é impossível para:
A) $a = 3$ B) $a = 6$ C) $a = 2$ D) $a = 1$ E) $a = -6$
Resposta: B
Para SI: razões dos coef. de $x$ e $y$ iguais, mas diferente da dos termos indep.
$\dfrac{a}{2} = \dfrac{3}{1} \Rightarrow a = 6$
Verificando: $\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \neq \dfrac{3}{1}$ — razões dos coef. iguais ($\frac{6}{2}=\frac{3}{1}=3$), razão dos indep. $\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\neq3$ → Impossível. $a=6$