R 1: Determinante 2x2
Enunciado: Calcule $\det \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.
Resolução: $(5 \cdot 4) - (2 \cdot 3) = 20 - 6 = 14$.
📚 Resumo: O que é Determinante?
O determinante é um número real associado a uma matriz quadrada. Ele resume propriedades importantes da matriz, como a existência de sua inversa.
- Matriz 1x1: O determinante é o próprio elemento.
- Matriz 2x2: Diferença entre o produto da diagonal principal e da secundária.
- Matriz 3x3: Calculado geralmente pela Regra de Sarrus.
📖 1. Determinante de Ordem 2
Para uma matriz $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, o determinante (denotado por $\det A$ ou $|A|$) é:
$$\det A = (a \cdot d) - (b \cdot c)$$
2. Determinante de Ordem 3 (Regra de Sarrus)
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz e somamos os produtos das diagonais principais, subtraindo os produtos das diagonais secundárias.
Dica: "Desce somando, sobe subtraindo".
3. Propriedades Importantes
- Se uma linha ou coluna for toda zero, $\det = 0$.
- Se duas linhas ou colunas forem iguais ou proporcionais, $\det = 0$.
- $\det(A) = \det(A^t)$.
- Teorema de Binet: $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$.
💡 Matemática em Ação
📐 Geometria Analítica
Usamos determinantes para calcular a área de triângulos no plano cartesiano e para verificar se três pontos estão alinhados (colineares).
🤖 Sistemas Lineares
Na Regra de Cramer, os determinantes são usados para encontrar as soluções de sistemas de equações com múltiplas variáveis.
✅ 5 Questões Resolvidas (R 1 a 5)
R 2: Elemento Incógnito
Enunciado: Determine $x$ para que $\det \begin{bmatrix} x & 6 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = 0$.
Resolução: $3x - 12 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4$.
R 3: Determinante 3x3 (Sarrus)
Enunciado: Calcule $\det \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
Resolução: Aplicando Sarrus: $(1\cdot1\cdot1 + 0\cdot3\cdot0 + 2\cdot2\cdot1) - (0\cdot1\cdot2 + 1\cdot3\cdot1 + 1\cdot2\cdot0) = (1+0+4) - (0+3+0) = 5 - 3 = 2$.
R 4: Propriedade de Linhas Proporcionais
Enunciado: Qual o determinante de $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 10 \end{bmatrix}$?
Resolução: Note que a segunda linha é 5 vezes a primeira. Pela propriedade, $\det = 0$. Conferindo: $(1 \cdot 10) - (2 \cdot 5) = 10 - 10 = 0$.
R 5: Teorema de Binet
Enunciado: Se $\det A = 3$ e $\det B = 5$, qual o $\det(A \cdot B)$?
Resolução: $\det(A \cdot B) = \det A \cdot \det B = 3 \cdot 5 = 15$.
✍️ 5 Questões Propostas (P 6 a 10)
P 6: Cálculo Direto
Enunciado: Calcule o determinante de $\begin{bmatrix} -2 & -5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$.
P 7: Equação com Determinante
Enunciado: Resolva $\begin{vmatrix} x & x \\ 4 & x \end{vmatrix} = 5$.
P 8: Matriz Identidade
Enunciado: Qual o determinante de uma matriz identidade $I_n$ de qualquer ordem?
P 9: Matriz Transposta
Enunciado: Se $\det A = 10$, qual o valor de $\det(A^t)$?
P 10: Matriz Singular
Enunciado: Uma matriz é dita singular se seu determinante é zero. $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ é singular?
🎓 TESTES (T 11 a 15)
T 11: Ordem 2
O determinante da matriz $\begin{bmatrix} \cos x & -\sin x \\ \sin x & \cos x \end{bmatrix}$ é:
A) 0
B) 1
C) -1
D) $\cos(2x)$
E) $\sin(2x)$
T 12: Propriedades
Se multiplicarmos todos os elementos de uma linha de uma matriz 3x3 por 2, o seu determinante:
A) Permanece igual
B) Fica multiplicado por 2
C) Fica multiplicado por 4
D) Fica multiplicado por 8
E) Torna-se zero
T 13: Inversibilidade
Uma matriz quadrada $A$ admite inversa se, e somente se:
A) $\det A = 0$
B) $\det A = 1$
C) $\det A \neq 0$
D) $A$ for a matriz nula
E) $A$ tiver ordem par
T 14: Escalar no Determinante
Se $A$ é uma matriz de ordem 2 e $\det A = 7$, qual o valor de $\det(2A)$?
A) 14
B) 7
C) 28
D) 49
E) 4
T 15: Sarrus Mental
O determinante de $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}$ é:
A) 0
B) 10
C) 15
D) 24
E) 6