2º Ano | Aula 02: Operações com Matrizes
Para manipular dados em tabelas, utilizamos três operações fundamentais:
Se $A = (a_{ij})$ e $B = (b_{ij})$ são matrizes de ordem $m \times n$, a soma $C = A + B$ terá elementos $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.
$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{bmatrix}$$
Ao multiplicar uma matriz por um número $k$, cada elemento da matriz é multiplicado por $k$.
$$k \cdot \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k \cdot a & k \cdot b \\ k \cdot c & k \cdot d \end{bmatrix}$$
Diferente da soma, o produto não é feito elemento por elemento. Utilizamos a regra "Linha por Coluna".
Para calcular o elemento $c_{11}$ da matriz resultante, multiplicamos os elementos da 1ª linha da matriz A pelos elementos da 1ª coluna da matriz B e somamos os produtos.
Condição: $A_{m \times \mathbf{n}} \cdot B_{\mathbf{n} \times p} = C_{m \times p}$
Dadas as matrizes $A$ e $B$, vamos calcular o produto $A \cdot B$:
$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{bmatrix}$
Calculamos cada elemento seguindo a regra linha por coluna:
A matriz resultante será:
$$A \cdot B = \begin{bmatrix} 26 & 31 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$$
Uma matriz pode representar o custo de produção e outra o volume de vendas. Multiplicá-las gera automaticamente o faturamento total por setor.
Ao aplicar brilho em uma foto, o software multiplica a matriz de cores (RGB) por um escalar. Filtros complexos usam produtos de matrizes de convolução.
Enunciado: Calcule $A + B$ para $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
Resolução:
$\begin{bmatrix} 1+2 & 3+4 \\ 5+0 & 7+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 7 \\ 5 & 8 \end{bmatrix}$
Enunciado: Sendo $A = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$, determine $3A$.
Resolução: Multiplicamos todos por 3:
$3 \cdot (-1) = -3$; $3 \cdot 4 = 12$; $3 \cdot 2 = 6$; $3 \cdot 0 = 0$.
Resultado: $\begin{bmatrix} -3 & 12 \\ 6 & 0 \end{bmatrix}$.
Enunciado: Se $A + X = B$, onde $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$, qual a matriz $X$?
Resolução: $X = B - A$.
$X = \begin{bmatrix} 5-1 \\ 8-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}$.
Enunciado: É possível multiplicar uma matriz $A_{3 \times 2}$ por uma $B_{3 \times 2}$?
Resolução: Não. Para multiplicar $A$ por $B$, o número de colunas de $A$ (2) deveria ser igual ao de linhas de $B$ (3). Como $2 \neq 3$, o produto não existe.
Enunciado: Calcule $\begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 4 \end{bmatrix}$.
Resolução: Multiplicamos linha por coluna:
$(2 \cdot 5) + (3 \cdot 4) = 10 + 12 = 22$.
O resultado é uma matriz $1 \times 1$: $[22]$.
Enunciado: Some $A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \end{bmatrix}$ com $B = \begin{bmatrix} 5 & -3 \end{bmatrix}$.
Enunciado: Dada $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, calcule $2A - I_2$.
Enunciado: Calcule $A^2$ sendo $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
Enunciado: Se $A_{5 \times 2}$ e $B_{2 \times 8}$, qual a ordem da matriz $C = A \cdot B$?
Enunciado: O que acontece se multiplicarmos qualquer matriz $A$ pela matriz nula $0$ de mesma ordem?
Sobre a multiplicação de matrizes $A \cdot B$, é correto afirmar que:
A) $A \cdot B$ é sempre igual a $B \cdot A$
B) O produto só existe se as matrizes forem de mesma ordem
C) A ordem dos fatores geralmente altera o produto
D) O resultado é sempre uma matriz nula
E) Nenhuma das alternativas anteriores
Se $A$ é uma matriz $2 \times 3$ e $B$ é uma matriz $3 \times 4$, a ordem da matriz $C = A \cdot B$ é:
A) $2 \times 3$
B) $3 \times 4$
C) $2 \times 4$
D) $3 \times 3$
E) $4 \times 2$
Sendo $I_2$ a matriz identidade de ordem 2, o resultado de $3 \cdot I_2$ é:
A) $\begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$
B) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
C) $\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$
D) $\begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$
E) $[6]$
Dadas $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, o produto $A \cdot B$ resulta em:
A) $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$
B) $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
C) $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$
D) $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$
E) $[4]$
Para que seja possível realizar a operação $A + B$, é necessário que:
A) $A$ e $B$ sejam quadradas
B) $A$ e $B$ tenham a mesma ordem
C) O número de colunas de $A$ seja igual ao de linhas de $B$
D) Ambas sejam matrizes identidade
E) Ambas sejam matrizes nulas