1º Ano | Aula: Estatística Básica — Dados, Médias, Dispersão e Gráficos
A Estatística é a ciência que coleta, organiza, analisa e interpreta dados numéricos para extrair conclusões e apoiar decisões. Nesta aula estudamos os conceitos fundamentais: tipos de variáveis, tabelas de frequência, medidas de tendência central e de dispersão, e representações gráficas.
Média aritmética: $\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$ | Mediana: valor central dos dados ordenados | Moda: valor mais frequente
Variância: $\sigma^2 = \dfrac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}$ | Desvio Padrão: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Categorias sem ordem definida.
Exemplos: cor dos olhos, estado civil, marca do carro, time de futebol.
Categorias com ordem natural.
Exemplos: escolaridade (fundamental/médio/superior), nível de satisfação (ruim/regular/bom/ótimo).
Valores inteiros contáveis.
Exemplos: número de filhos, número de gols, quantidade de livros.
Valores em intervalos contínuos.
Exemplos: altura, peso, temperatura, tempo de corrida.
A tabela de frequência organiza os dados de forma sistemática, mostrando quantas vezes cada valor (ou intervalo) ocorre. É a base para a análise estatística.
Frequência absoluta ($f_i$): número de vezes que o valor $x_i$ ocorre nos dados
Frequência relativa ($f_{ri}$): $f_{ri} = \dfrac{f_i}{n}$ (proporção, entre 0 e 1)
Frequência percentual ($f_{\%i}$): $f_{\%i} = f_{ri} \times 100$ (em porcentagem)
Frequência acumulada ($F_i$): soma das frequências absolutas até $x_i$
Dados: $\{5, 7, 8, 6, 9, 7, 8, 5, 6, 7, 10, 8, 7, 6, 9, 8, 5, 7, 8, 10\}$
| Nota ($x_i$) | Freq. Absoluta ($f_i$) | Freq. Relativa ($f_{ri}$) | Freq. % ($f_{\%i}$) | Freq. Acumulada ($F_i$) |
|---|---|---|---|---|
| 5 | 3 | 0,15 | 15% | 3 |
| 6 | 3 | 0,15 | 15% | 6 |
| 7 | 5 | 0,25 | 25% | 11 |
| 8 | 5 | 0,25 | 25% | 16 |
| 9 | 2 | 0,10 | 10% | 18 |
| 10 | 2 | 0,10 | 10% | 20 |
| Total | 20 | 1,00 | 100% | — |
Quando os dados são contínuos ou numerosos, agrupamos em intervalos de classe:
| Intervalo | Ponto médio ($m_i$) | Freq. Absoluta ($f_i$) | Freq. % |
|---|---|---|---|
| $[40, 50)$ | $45$ | $4$ | $10\%$ |
| $[50, 60)$ | $55$ | $8$ | $20\%$ |
| $[60, 70)$ | $65$ | $14$ | $35\%$ |
| $[70, 80)$ | $75$ | $10$ | $25\%$ |
| $[80, 90]$ | $85$ | $4$ | $10\%$ |
| Total | — | 40 | 100% |
As medidas de tendência central são valores que representam o "centro" de um conjunto de dados. As três principais são média, mediana e moda.
$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}$$
Soma de todos os valores dividida pela quantidade. Sensível a valores extremos (outliers).
Valor central dos dados ordenados.
— $n$ ímpar: elemento do meio
— $n$ par: média dos dois centrais
Não é afetada por outliers — mais robusta.
Valor(es) com maior frequência.
— Amodal: nenhum valor se repete
— Unimodal: uma moda
— Bimodal: duas modas
— Multimodal: três ou mais modas
$$\bar{x}_p = \frac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \cdots + x_n w_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n} = \frac{\sum x_i w_i}{\sum w_i}$$
onde $w_i$ é o peso (ponderação) de cada valor $x_i$.
Exemplo — Calcular média, mediana e moda:
Dados: $\{4, 7, 7, 8, 9, 10, 6, 7, 5, 8\}$
Média: $\bar{x} = \dfrac{4+7+7+8+9+10+6+7+5+8}{10} = \dfrac{71}{10} = 7{,}1$
Mediana (dados ordenados: $4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10$):
$n = 10$ (par) → média dos 5º e 6º termos: $Md = \dfrac{7 + 7}{2} = 7$
Moda: $Mo = 7$ (aparece 3 vezes)
Exemplo — Média ponderada (sistema de notas):
Provas: $P_1 = 6$ (peso 2), $P_2 = 8$ (peso 3), $P_3 = 7$ (peso 5)
$\bar{x}_p = \dfrac{6\cdot2 + 8\cdot3 + 7\cdot5}{2+3+5} = \dfrac{12 + 24 + 35}{10} = \dfrac{71}{10} = 7{,}1$
As medidas de dispersão indicam o quanto os dados se afastam da média. Dois conjuntos podem ter a mesma média mas distribuições completamente diferentes.
$$A = x_{\max} - x_{\min}$$
Simples mas sensível a extremos. Não considera os valores intermediários.
$$DM = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$$
Média dos desvios absolutos. Interpretação direta na unidade dos dados.
$$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$$
Média dos quadrados dos desvios. Amplifica outliers. Unidade: (unidade dos dados)².
$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n}}$$
Raiz da variância. Mesma unidade dos dados. Principal medida de dispersão.
Exemplo — Calcular variância e desvio padrão:
Dados: $\{3, 5, 7, 5, 6, 4\}$ | $n = 6$
Média: $\bar{x} = \dfrac{3+5+7+5+6+4}{6} = \dfrac{30}{6} = 5$
Desvios ao quadrado: $(3-5)^2 = 4$; $(5-5)^2 = 0$; $(7-5)^2 = 4$; $(5-5)^2 = 0$; $(6-5)^2 = 1$; $(4-5)^2 = 1$
Variância: $\sigma^2 = \dfrac{4+0+4+0+1+1}{6} = \dfrac{10}{6} \approx 1{,}67$
Desvio padrão: $\sigma = \sqrt{1{,}67} \approx 1{,}29$
Os gráficos facilitam a visualização e comparação dos dados. A escolha do tipo de gráfico depende do tipo de variável e do objetivo da análise.
| Tipo de Gráfico | Quando usar | Vantagem |
|---|---|---|
| Histograma | Variáveis quantitativas agrupadas em intervalos | Mostra a distribuição de frequências e a forma da distribuição |
| Polígono de Frequência | Dados agrupados; comparação de distribuições | Facilita comparação de duas ou mais distribuições |
| Gráfico de Barras | Variáveis qualitativas ou quantitativas discretas | Comparação entre categorias |
| Gráfico de Setores | Proporções e porcentagens | Mostra a contribuição de cada parte ao todo |
| Gráfico de Linha | Séries temporais, tendências ao longo do tempo | Destaca a evolução e tendências |
| Box Plot | Resumo da distribuição com quartis | Identifica outliers, assimetria e dispersão |
Os quartis dividem os dados ordenados em quatro partes iguais. Junto com o mínimo, máximo e mediana, formam o resumo dos cinco números que define o box plot.
$Q_1$ (1º quartil): mediana da metade inferior dos dados → 25% dos dados abaixo
$Q_2$ (2º quartil): mediana dos dados → 50% dos dados abaixo
$Q_3$ (3º quartil): mediana da metade superior → 75% dos dados abaixo
Amplitude Interquartil: $IQR = Q_3 - Q_1$
Outlier: valor $< Q_1 - 1{,}5\cdot IQR$ ou $> Q_3 + 1{,}5\cdot IQR$
Exemplo: Calcule $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ e $IQR$ dos dados $\{2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 15\}$.
$n = 9$ (ímpar) — dados já ordenados.
$Q_2 = $ 5º elemento $= 8$
Metade inferior: $\{2, 4, 5, 7\}$ → $Q_1 = \dfrac{4+5}{2} = 4{,}5$
Metade superior: $\{10, 11, 13, 15\}$ → $Q_3 = \dfrac{11+13}{2} = 12$
$IQR = 12 - 4{,}5 = 7{,}5$
Quando os dados estão em tabelas de frequência agrupadas em intervalos, usamos os pontos médios dos intervalos para estimar as medidas:
Média agrupada: $\bar{x} = \dfrac{\sum m_i \cdot f_i}{\sum f_i} = \dfrac{\sum m_i \cdot f_i}{n}$
Mediana agrupada (fórmula de Sturges):
$Md = l_i + \dfrac{\dfrac{n}{2} - F_{ant}}{f_{Md}} \cdot h$
onde $l_i$ = limite inferior da classe mediana, $F_{ant}$ = frequência acumulada antes, $f_{Md}$ = frequência da classe mediana, $h$ = amplitude
Exemplo — Média agrupada:
Usando a tabela do Bloco 2 (40 dados):
$\bar{x} = \dfrac{45\cdot4 + 55\cdot8 + 65\cdot14 + 75\cdot10 + 85\cdot4}{40}$
$= \dfrac{180 + 440 + 910 + 750 + 340}{40} = \dfrac{2620}{40} = \mathbf{65{,}5}$
Mediana agrupada: $\dfrac{n}{2} = 20$. Até $[50,60)$: $F = 12 < 20$. A classe $[60,70)$ tem $F$ acumulada $= 12+14 = 26 \geq 20$ → classe mediana é $[60,70)$.
$Md = 60 + \dfrac{20 - 12}{14} \times 10 = 60 + \dfrac{80}{14} \approx 60 + 5{,}71 \approx \mathbf{65{,}7}$
Ensaios clínicos usam médias, desvios padrões e intervalos de confiança para validar tratamentos. O IMC médio, a prevalência de doenças e taxas de vacinação são medidas estatísticas usadas em políticas de saúde.
A média do IPCA mede a inflação; o desvio padrão do retorno de ações mede o risco de um investimento. O conceito de "risco = variabilidade" é fundamental para diversificação de portfólios.
Institutos de pesquisa usam amostras para estimar preferências eleitorais. A margem de erro (ligada ao desvio padrão e tamanho da amostra) indica a precisão da estimativa para toda a população.
O ENEM analisa médias, medianas e distribuições de notas para avaliar o desempenho educacional. Box plots e histogramas mostram a diferença de rendimento entre regiões, escolas públicas e privadas.
Enunciado: As idades de 9 funcionários de uma empresa são: $\{22, 35, 28, 41, 35, 29, 35, 52, 27\}$. Calcule a média, a mediana e a moda.
Resolução:
Média: $\bar{x} = \dfrac{22+35+28+41+35+29+35+52+27}{9} = \dfrac{304}{9} \approx \mathbf{33{,}8}$
Mediana (dados ordenados: $22, 27, 28, 29, 35, 35, 35, 41, 52$):
$n = 9$ ímpar → 5º elemento: $Md = \mathbf{35}$
Moda: $Mo = \mathbf{35}$ (aparece 3 vezes — unimodal)
Enunciado: Um aluno fez três avaliações com os seguintes resultados e pesos: $P_1 = 5{,}5$ (peso 1), $P_2 = 7{,}0$ (peso 2), $P_3 = 8{,}0$ (peso 3). Qual a média ponderada? Ele foi aprovado com mínimo 6,5?
Resolução:
$\bar{x}_p = \dfrac{5{,}5\cdot1 + 7{,}0\cdot2 + 8{,}0\cdot3}{1+2+3} = \dfrac{5{,}5 + 14 + 24}{6} = \dfrac{43{,}5}{6} = \mathbf{7{,}25}$
Como $7{,}25 \geq 6{,}5$, o aluno foi aprovado.
Enunciado: Dois times de basquete marcaram os seguintes pontos nas últimas 5 partidas. Time A: $\{80, 85, 78, 82, 80\}$. Time B: $\{60, 95, 70, 100, 80\}$. Compare as médias e desvios padrões.
Resolução:
Time A: $\bar{x}_A = \dfrac{80+85+78+82+80}{5} = \dfrac{405}{5} = 81$
Desvios²: $(80-81)^2=1$; $(85-81)^2=16$; $(78-81)^2=9$; $(82-81)^2=1$; $(80-81)^2=1$
$\sigma_A^2 = \dfrac{28}{5} = 5{,}6$ | $\sigma_A = \sqrt{5{,}6} \approx \mathbf{2{,}37}$
Time B: $\bar{x}_B = \dfrac{60+95+70+100+80}{5} = \dfrac{405}{5} = 81$
Desvios²: $441; 196; 121; 361; 1$ | $\sigma_B^2 = \dfrac{1120}{5} = 224$ | $\sigma_B \approx \mathbf{14{,}97}$
Conclusão: Mesma média (81 pts), mas o Time B é muito mais irregular ($\sigma_B \gg \sigma_A$).
Enunciado: Em uma pesquisa com 200 pessoas sobre esporte favorito: Futebol (90), Vôlei (50), Basquete (30), Natação (20), Outros (10). Monte a tabela de frequências relativas e calcule os ângulos para o gráfico de setores.
Resolução:
Total: $n = 200$
Futebol: $\frac{90}{200}=45\%$ → ângulo: $\frac{45}{100}\times360°=162°$
Vôlei: $\frac{50}{200}=25\%$ → $90°$
Basquete: $\frac{30}{200}=15\%$ → $54°$
Natação: $\frac{20}{200}=10\%$ → $36°$
Outros: $\frac{10}{200}=5\%$ → $18°$
Soma dos ângulos: $162+90+54+36+18=360°$ ✓
Enunciado: Os salários mensais (em R\$) de 10 funcionários são: $\{1800, 2000, 2100, 2200, 2400, 2600, 2800, 3000, 3500, 8000\}$. Calcule $Q_1$, $Q_3$, $IQR$ e verifique se $8000$ é outlier.
Resolução:
Dados ordenados (10 elementos):
$Q_1$: média do 3º e 4º termos: $Q_1 = \dfrac{2100+2200}{2} = 2150$
$Q_3$: média do 8º e 9º termos: $Q_3 = \dfrac{3000+3500}{2} = 3250$
$IQR = 3250 - 2150 = 1100$
Limite superior: $Q_3 + 1{,}5\cdot IQR = 3250 + 1650 = 4900$
Como $8000 > 4900$: R\$ 8.000 é um outlier!
(Isso explica porque a mediana salarial seria mais representativa que a média aqui.)
Enunciado: A tabela abaixo mostra as notas de 30 alunos. Calcule a média agrupada.
$[4,6)$: 5 alunos | $[6,7)$: 8 alunos | $[7,8)$: 10 alunos | $[8,9)$: 5 alunos | $[9,10]$: 2 alunos
Enunciado: Os preços de 7 casas em um bairro (em R\$ mil) são: $\{280, 300, 310, 320, 330, 340, 1200\}$. Calcule a média e a mediana. Qual representa melhor o "preço típico"?
Enunciado: A turma A tem notas com média 7 e desvio padrão 0,5. A turma B tem média 7 e desvio padrão 2. Qual turma é mais homogênea? Se um aluno da turma B tirou 9, quantos desvios padrões acima da média ele está?
Enunciado: Em uma eleição estudantil com 400 votos, o candidato A recebeu 160, B recebeu 120, C recebeu 80 e brancos/nulos foram 40. Calcule as porcentagens e os ângulos do gráfico de setores para cada candidato.
Enunciado: A média de 8 valores é 12. Se os 7 primeiros são $\{10, 14, 9, 15, 11, 13, 12\}$, qual é o 8º valor?
Enunciado: A média de 6 números é 10. Se um dos números é 16, a média dos outros 5 é:
Enunciado: Os salários mensais de 9 trabalhadores (em R\$) são: 1200, 1500, 1800, 2000, 2200, 2500, 2800, 3500, 12000. A mediana é:
Enunciado: O conjunto $\{2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9\}$ tem média 5. O desvio padrão é:
Enunciado: Em uma pesquisa, 200 pessoas foram classificadas por faixa etária. A faixa $[30, 40)$ tem frequência relativa 0,35. Quantas pessoas têm entre 30 e 40 anos, e qual o ângulo no gráfico de setores?
Enunciado: Um aluno precisa de média ponderada mínima 6,0 para ser aprovado. As provas têm os seguintes pesos: $P_1$ (peso 2), $P_2$ (peso 3), $P_3$ (peso 5). Ele tirou $P_1 = 4$ e $P_2 = 5$. Qual a nota mínima em $P_3$ para aprovação?