1º Ano | Aula: Equações Trigonométricas — Seno, Cosseno, Tangente e Equações Gerais
Uma equação trigonométrica é qualquer equação que envolva razões trigonométricas da incógnita. Por serem funções periódicas, essas equações geralmente têm infinitas soluções — expressas como uma solução particular somada a múltiplos inteiros do período.
$\sin x = k$ → $x = \arcsin k + 2k\pi$ ou $x = \pi - \arcsin k + 2k\pi$
$\cos x = k$ → $x = \pm\arccos k + 2k\pi$
$\tan x = k$ → $x = \arctan k + k\pi$
Estratégia geral: localize as soluções no 1º ciclo usando o círculo trigonométrico → aplique a periodicidade para a solução geral.
Uma equação trigonométrica é uma equação em que a incógnita aparece como argumento de uma ou mais funções trigonométricas. Exemplos:
Como as funções trigonométricas são periódicas, uma equação trigonométrica geralmente tem infinitas soluções — ao contrário das equações algébricas comuns. As soluções se repetem a cada período.
Encontra-se nos 1º e 2º quadrantes (se $k > 0$) ou nos 3º e 4º quadrantes (se $k < 0$). Período de repetição: $2\pi$.
Soluções simétricas em relação ao eixo $x$ do círculo. Encontra-se nos 1º e 4º (se $k > 0$) ou nos 2º e 3º (se $k < 0$). Período: $2\pi$.
Uma solução por período $\pi$. Não existe para $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Positiva no 1º e 3º Q; negativa no 2º e 4º Q.
Equações que após substituição ($t = \sin x$, $t = \cos x$) tornam-se equações algébricas (lineares, quadráticas etc.).
Se $\sin x = k$ e $-1 \leq k \leq 1$:
$$x = \arcsin(k) + 2n\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin(k) + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$
No círculo: seno é a coordenada $y$. Para um dado $k$, há dois ângulos no ciclo $[0°, 360°)$ com $\sin x = k$ (exceto $k = \pm1$, onde há um único).
Exemplo 1: Resolva $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ para $x \in [0°, 360°)$.
Ângulo de referência: $\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60°$. Como $k > 0$: 1º e 2º Q.
$x_1 = 60°$ e $x_2 = 180° - 60° = 120°$
$S = \{60°,\; 120°\}$
Exemplo 2: Resolva $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ para $x \in [0°, 360°)$.
Ângulo de referência: $30°$. Como $k < 0$: 3º e 4º Q.
$x_1 = 180° + 30° = 210°$ e $x_2 = 360° - 30° = 330°$
$S = \{210°,\; 330°\}$
Exemplo 3 — Solução geral: Resolva $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Referência: $45°$. Soluções no ciclo: $45°$ e $135°$.
Solução geral: $x = 45° + 360°n$ ou $x = 135° + 360°n$, $n \in \mathbb{Z}$
Em radianos: $x = \dfrac{\pi}{4} + 2n\pi$ ou $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2n\pi$
Se $\cos x = k$ e $-1 \leq k \leq 1$:
$$x = \pm\arccos(k) + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$
No círculo: cosseno é a coordenada $x$. Para um dado $k$, as duas soluções no ciclo são simétricas em relação ao eixo $x$ (espelhadas verticalmente).
Exemplo 1: Resolva $\cos x = \dfrac{1}{2}$ para $x \in [0°, 360°)$.
Referência: $\arccos\!\left(\frac{1}{2}\right) = 60°$. Como $k > 0$: 1º e 4º Q.
$x_1 = 60°$ e $x_2 = 360° - 60° = 300°$
$S = \{60°,\; 300°\}$
Exemplo 2: Resolva $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ para $x \in [0°, 360°)$.
Referência: $45°$. Como $k < 0$: 2º e 3º Q.
$x_1 = 180° - 45° = 135°$ e $x_2 = 180° + 45° = 225°$
$S = \{135°,\; 225°\}$
Se $\tan x = k$, para qualquer $k \in \mathbb{R}$:
$$x = \arctan(k) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$
A tangente tem período $\pi$. Há apenas uma solução por período (ao contrário de seno e cosseno, que têm duas). Para valores notáveis: $\arctan(0) = 0°$, $\arctan(1) = 45°$, $\arctan(\sqrt{3}) = 60°$.
Exemplo 1: Resolva $\tan x = 1$ para $x \in [0°, 360°)$.
$\arctan(1) = 45°$. Tangente positiva no 1º e 3º Q.
$x_1 = 45°$ (1º Q) e $x_2 = 45° + 180° = 225°$ (3º Q)
$S = \{45°,\; 225°\}$ / Solução geral: $x = 45° + 180°n$
Exemplo 2: Resolva $\tan x = -\sqrt{3}$ para $x \in [0°, 360°)$.
$\arctan(\sqrt{3}) = 60°$. Tangente negativa no 2º e 4º Q.
$x_1 = 180° - 60° = 120°$ (2º Q) e $x_2 = 360° - 60° = 300°$ (4º Q)
$S = \{120°,\; 300°\}$
Quando o argumento da função trigonométrica não é simplesmente $x$, mas uma expressão como $2x$, $x/2$ ou $x - \pi/3$, a resolução é feita em etapas:
Exemplo 1: Resolva $\sin(2x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ para $x \in [0°, 360°)$.
Seja $u = 2x$. Como $x \in [0°, 360°)$, temos $u \in [0°, 720°)$.
$\sin u = \frac{\sqrt{3}}{2}$ → referência $60°$:
$u = 60°, 120°, 420°, 480°$ (no intervalo $[0°, 720°)$)
Dividindo por 2: $x = 30°, 60°, 210°, 240°$
$S = \{30°,\; 60°,\; 210°,\; 240°\}$
Exemplo 2: Resolva $\cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = 0$ para $x \in [0, 2\pi)$.
Seja $u = x - \frac{\pi}{6}$. Como $x \in [0, 2\pi)$: $u \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\right)$.
$\cos u = 0$ → $u = \frac{\pi}{2}$ ou $u = \frac{3\pi}{2}$ (no intervalo considerado)
$x = u + \frac{\pi}{6}$: $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ e $x = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$
$S = \left\{\dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{5\pi}{3}\right\}$
Exemplo 3: Resolva $\tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right) = \sqrt{3}$ para $x \in [0°, 720°)$.
$u = \frac{x}{2}$; $x \in [0°,720°)$ → $u \in [0°, 360°)$.
$\tan u = \sqrt{3}$ → $u = 60°$ e $u = 240°$
$x = 2u$: $x = 120°$ e $x = 480°$
$S = \{120°,\; 480°\}$
Algumas equações trigonométricas se tornam equações algébricas após uma substituição simples ou fatoração:
Exemplo 1: Resolva $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ para $x \in [0°, 360°)$.
Seja $t = \sin x$: $2t^2 - t - 1 = 0 \Rightarrow (2t + 1)(t - 1) = 0$
$t = -\dfrac{1}{2}$ ou $t = 1$
Para $\sin x = -\frac{1}{2}$: $x = 210°$ e $x = 330°$
Para $\sin x = 1$: $x = 90°$
$S = \{90°,\; 210°,\; 330°\}$
Exemplo 2: Resolva $\cos^2 x - \cos x = 0$ para $x \in [0°, 360°)$.
Fatorando: $\cos x(\cos x - 1) = 0$
$\cos x = 0$: $x = 90°$ e $x = 270°$
$\cos x = 1$: $x = 0°$
$S = \{0°,\; 90°,\; 270°\}$
Exemplo 3: Resolva $\sin^2 x + \cos x - 1 = 0$ para $x \in [0°, 360°)$.
Usando $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:
$(1 - \cos^2 x) + \cos x - 1 = 0 \Rightarrow -\cos^2 x + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x(1 - \cos x) = 0$
$\cos x = 0$: $x = 90°$, $270°$ ou $\cos x = 1$: $x = 0°$
$S = \{0°,\; 90°,\; 270°\}$
Exemplo 4: Resolva $\sin x = \cos x$ para $x \in [0°, 360°)$.
Divida ambos por $\cos x$ (válido onde $\cos x \neq 0$): $\tan x = 1$
$x = 45°$ e $x = 225°$
Verificação: $\cos 90° = 0$ e $\cos 270° = 0$ → não são zeros da equação original, pois $\sin 90° \neq 0$. ✓
$S = \{45°,\; 225°\}$
A solução geral descreve todas as infinitas soluções de uma equação trigonométrica usando o parâmetro inteiro $n \in \mathbb{Z}$:
| Equação | Solução geral (em graus) | Solução geral (em radianos) |
|---|---|---|
| $\sin x = k$ | $x = \alpha + 360°n$ ou $x = (180°-\alpha) + 360°n$ | $x = \alpha + 2n\pi$ ou $x = (\pi-\alpha) + 2n\pi$ |
| $\cos x = k$ | $x = \pm\alpha + 360°n$ | $x = \pm\alpha + 2n\pi$ |
| $\tan x = k$ | $x = \alpha + 180°n$ | $x = \alpha + n\pi$ |
| $\sin x = 0$ | $x = 180°n$ | $x = n\pi$ |
| $\cos x = 0$ | $x = 90° + 180°n$ | $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ |
| $\sin x = 1$ | $x = 90° + 360°n$ | $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ |
| $\cos x = 1$ | $x = 360°n$ | $x = 2n\pi$ |
| $\sin x = -1$ | $x = 270° + 360°n$ | $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ |
| $\cos x = -1$ | $x = 180° + 360°n$ | $x = \pi + 2n\pi$ |
Uma equação trigonométrica pode ser resolvida graficamente interpretando-a como a interseção de dois gráficos. Isso é útil para visualizar e estimar soluções.
A altura da maré é modelada por $h(t) = A\cos(\omega t + \phi) + D$. Para encontrar quando a maré atinge uma altura específica, resolve-se uma equação trigonométrica — obtendo os horários exatos de maré alta e baixa.
Para determinar em quais instantes a corrente alternada $i(t) = I_0\sin(\omega t)$ atinge um valor crítico, resolve-se $\sin(\omega t) = k$. A periodicidade garante que o evento se repete a cada ciclo de 60 Hz.
Ao modelar a temperatura ao longo do dia com uma função senoidal, encontrar os horários em que a temperatura atinge valores específicos (para ligar o ar-condicionado, por exemplo) requer a resolução de equações trigonométricas.
O alcance de um projétil lançado com ângulo $\theta$ é $R = \frac{v^2\sin 2\theta}{g}$. Para atingir um alcance específico resolve-se $\sin 2\theta = k$ — e surgem duas soluções (ângulos conjugados: $\theta$ e $90°-\theta$).
Enunciado: Resolva $\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ para $x \in [0°, 360°)$. Em seguida, escreva a solução geral.
Resolução:
Referência: $\arcsin\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60°$. Como $k < 0$: 3º e 4º quadrante.
$x_1 = 180° + 60° = 240°$ (3º Q) e $x_2 = 360° - 60° = 300°$ (4º Q)
No intervalo: $S = \{240°,\; 300°\}$
Solução geral: $x = 240° + 360°n$ ou $x = 300° + 360°n$, $n \in \mathbb{Z}$
Enunciado: Resolva $\cos\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ para $x \in [0, 2\pi)$.
Resolução:
Seja $u = x + \frac{\pi}{4}$. Como $x \in [0, 2\pi)$: $u \in \left[\frac{\pi}{4},\; \frac{9\pi}{4}\right)$
$\cos u = \frac{\sqrt{2}}{2}$: referência $\frac{\pi}{4}$; cos positivo no 1º e 4º Q.
$u_1 = \frac{\pi}{4}$ e $u_2 = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ (ambos no intervalo) e também $u_3 = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$ (fora).
$x = u - \frac{\pi}{4}$:
$x_1 = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0$ e $x_2 = \frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$
$S = \left\{0,\; \dfrac{3\pi}{2}\right\}$
Enunciado: Resolva $2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0$ para $x \in [0°, 360°)$.
Resolução:
Seja $t = \cos x$: $2t^2 + 3t + 1 = 0 \Rightarrow (2t + 1)(t + 1) = 0$
$t = -\dfrac{1}{2}$ ou $t = -1$
Para $\cos x = -\frac{1}{2}$: referência $60°$, cosseno negativo no 2º e 3º Q.
$x = 120°$ e $x = 240°$
Para $\cos x = -1$: $x = 180°$
$S = \{120°,\; 180°,\; 240°\}$
Enunciado: Resolva $3\sin^2 x - \cos^2 x = 0$ para $x \in [0°, 360°)$.
Resolução:
Usando $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:
$3\sin^2 x - (1 - \sin^2 x) = 0 \Rightarrow 4\sin^2 x - 1 = 0 \Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{4}$
$\sin x = \pm\frac{1}{2}$
Para $\sin x = \frac{1}{2}$: $x = 30°$ e $x = 150°$
Para $\sin x = -\frac{1}{2}$: $x = 210°$ e $x = 330°$
$S = \{30°,\; 150°,\; 210°,\; 330°\}$
Enunciado: Resolva $\tan(2x) = -1$ para $x \in [0°, 360°)$.
Resolução:
Seja $u = 2x$; $x \in [0°, 360°)$ → $u \in [0°, 720°)$.
$\tan u = -1$: referência $45°$; tangente negativa no 2º e 4º Q.
No ciclo $[0°, 180°)$: $u_1 = 180° - 45° = 135°$
Adicionando $180°$ (período): $u_2 = 315°$, $u_3 = 495°$, $u_4 = 675°$
$x = u/2$: $x = 67{,}5°,\; 157{,}5°,\; 247{,}5°,\; 337{,}5°$
$S = \{67{,}5°,\; 157{,}5°,\; 247{,}5°,\; 337{,}5°\}$
Enunciado: Resolva $\cos x = -1$ para $x \in [0°, 720°)$. Escreva a solução geral.
Enunciado: Resolva $\sin\!\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$ para $x \in [0, 2\pi)$.
Enunciado: Resolva $\sin^2 x - \sin x = 0$ para $x \in [0°, 360°)$.
Enunciado: Resolva $\cos 2x + \cos x = 0$ para $x \in [0°, 360°)$. (Use $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$)
Enunciado: O alcance de um projétil é dado por $R = \dfrac{v^2 \sin 2\theta}{g}$. Para $v = 20$ m/s e $g = 10$ m/s², encontre os dois ângulos $\theta \in [0°, 90°]$ que resultam em alcance $R = 20\sqrt{3}$ m.
Enunciado: O número de soluções de $\sin x = \dfrac{1}{2}$ no intervalo $[0°, 720°)$ é:
Enunciado: A equação $\cos(2x) = 1$ tem, no intervalo $[0°, 360°)$, as soluções:
Enunciado: As soluções de $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ em $[0°, 360°)$ são:
Enunciado: A solução geral de $\tan x = \sqrt{3}$ é, com $n \in \mathbb{Z}$:
Enunciado: As soluções de $\sin x \cdot \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$ em $[0°, 360°)$ são: