1º Ano: Aula — Funções Trigonométricas

📚 Resumo

As funções trigonométricas $f(x) = \sin x$, $f(x) = \cos x$ e $f(x) = \tan x$ associam a cada número real (ângulo em radianos ou graus) um valor real definido pelo círculo trigonométrico. São funções periódicas — seus gráficos se repetem indefinidamente.

$f(x) = \sin x$: domínio $\mathbb{R}$, imagem $[-1,1]$, período $2\pi$ | $f(x) = \cos x$: domínio $\mathbb{R}$, imagem $[-1,1]$, período $2\pi$

$f(x) = \tan x$: domínio $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\right\}$, imagem $\mathbb{R}$, período $\pi$

Forma geral: $f(x) = A\sin(Bx + C) + D$ | Amplitude $= |A|$, Período $= \dfrac{2\pi}{|B|}$, Fase $= -\dfrac{C}{B}$, Deslocamento vertical $= D$

📖 1. Função Seno — $f(x) = \sin x$

A função seno associa a cada ângulo $x$ a ordenada (coordenada $y$) do ponto correspondente no círculo trigonométrico. Seu gráfico é uma onda suave e contínua que oscila entre $-1$ e $1$.

$f(x) = \sin x$

Domínio: $\mathbb{R}$ | Imagem: $[-1, 1]$ | Período: $2\pi$ (= 360°)

Zeros: $x = k\pi,\; k \in \mathbb{Z}$ | Máximos: $x = \frac{\pi}{2}+2k\pi$ | Mínimos: $x = -\frac{\pi}{2}+2k\pi$

Figura 1: Gráfico de $f(x) = \sin x$. A curva oscila entre $-1$ e $1$, com zeros em $x = k\pi$, máximo em $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ e mínimo em $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$. O período é $2\pi \approx 6{,}28$.

Propriedades da função seno

Paridade: $\sin(-x) = -\sin(x)$ → função ímpar (simétrica em relação à origem)
Periodicidade: $\sin(x + 2\pi) = \sin(x)$ para todo $x \in \mathbb{R}$
Crescente em: $\left[-\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\; \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$
Decrescente em: $\left[\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\; \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$
Positivo para: $x \in (2k\pi,\; \pi + 2k\pi)$ | Negativo para: $x \in (\pi + 2k\pi,\; 2\pi + 2k\pi)$

📖 2. Função Cosseno — $f(x) = \cos x$

A função cosseno associa a cada ângulo $x$ a abscissa (coordenada $x$) do ponto no círculo trigonométrico. Tem exatamente o mesmo formato da função seno, mas deslocada $\frac{\pi}{2}$ para a direita.

$f(x) = \cos x$

Domínio: $\mathbb{R}$ | Imagem: $[-1, 1]$ | Período: $2\pi$

Zeros: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ | Máximos: $x = 2k\pi$ | Mínimos: $x = \pi + 2k\pi$

Figura 2: Gráfico de $f(x) = \cos x$ (laranja). Começa em $\cos(0)=1$, cruza o eixo em $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3\pi}{2}$, vale $-1$ em $\pi$. Compare com o seno (azul, Figura 1): o cosseno é o seno deslocado $\frac{\pi}{2}$ para a esquerda, pois $\cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$.

Propriedades da função cosseno

Paridade: $\cos(-x) = \cos(x)$ → função par (simétrica em relação ao eixo $y$)
Relação com seno: $\cos x = \sin\!\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ e $\sin x = \cos\!\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$
Crescente em: $\left[\pi + 2k\pi,\; 2\pi + 2k\pi\right]$ | Decrescente em: $\left[2k\pi,\; \pi + 2k\pi\right]$
Positivo para: $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\; \dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right)$

Comparação seno × cosseno

Propriedade	$f(x) = \sin x$	$f(x) = \cos x$
Domínio	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
Imagem	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$
Período	$2\pi$	$2\pi$
Paridade	Ímpar — $f(-x)=-f(x)$	Par — $f(-x)=f(x)$
$f(0)$	$0$	$1$
Zeros	$x = k\pi$	$x = \frac{\pi}{2}+k\pi$
Máximo (1)	$x = \frac{\pi}{2}+2k\pi$	$x = 2k\pi$
Mínimo (−1)	$x = -\frac{\pi}{2}+2k\pi$	$x = \pi+2k\pi$

📖 3. Função Tangente — $f(x) = \tan x$

A função tangente é definida por $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Ela não existe quando $\cos x = 0$ (nos múltiplos ímpares de $\frac{\pi}{2}$), e seu gráfico possui assíntotas verticais nesses pontos.

$f(x) = \tan x$

Domínio: $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}$ | Imagem: $\mathbb{R}$ | Período: $\pi$

Zeros: $x = k\pi$ | Assíntotas verticais: $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

Figura 3: Gráfico de $f(x) = \tan x$ (verde). A função é crescente em cada ramo, com assíntotas verticais em $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ (linhas vermelhas). O período é $\pi$, metade do período de seno e cosseno. Zero em $x = k\pi$, valor 1 em $x = \frac{\pi}{4}+k\pi$.

⚠️ Diferenças importantes da tangente:
• Período é $\pi$ (não $2\pi$!)
• Imagem é $\mathbb{R}$ inteiro (não limitada entre −1 e 1)
• Não tem máximo nem mínimo
• Tem assíntotas verticais em $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
• É sempre crescente em cada intervalo de definição

📖 4. Transformações: Amplitude, Período, Fase e Deslocamento

A partir das funções básicas, podemos gerar novas funções trigonométricas modificando quatro parâmetros:

$$f(x) = A\sin(Bx + C) + D$$

$|A|$ = amplitude | $\dfrac{2\pi}{|B|}$ = período | $-\dfrac{C}{B}$ = fase inicial | $D$ = deslocamento vertical

Amplitude $|A|$

Altera a "altura" da onda.
$y = 2\sin x$: amplitude 2
$y = \frac{1}{2}\sin x$: amplitude 0,5
$A < 0$: reflexão no eixo $x$

Período $\dfrac{2\pi}{|B|}$

Altera a "largura" da onda.
$y = \sin(2x)$: período $\pi$
$y = \sin\!\left(\frac{x}{2}\right)$: período $4\pi$
$B > 1$: comprime; $0 < B < 1$: estica

Fase $-\dfrac{C}{B}$

Desloca horizontalmente.
$y = \sin\!\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$: desloca $+\frac{\pi}{2}$
$y = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$: desloca $-\frac{\pi}{4}$
$C > 0$: desloca à esquerda

Deslocamento $D$

Desloca verticalmente.
$y = \sin x + 2$: sobe 2 unidades
$y = \cos x - 1$: desce 1 unidade
Linha de equilíbrio: $y = D$

Amplitude $|A|=2$: a onda atinge $\pm 2$ (sólida) em vez de $\pm 1$ (tracejada).

Período com $B=2$: $f(x)=\sin(2x)$ tem período $\pi$ — a onda "cabe duas vezes" no espaço de uma.

Deslocamento vertical $D=1$: a linha de equilíbrio sobe para $y=1$; a onda varia entre 0 e 2.

Fase com $C=-\frac{\pi}{2}$: $f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{2}) = \cos x$ — a onda desloca para a direita $\frac{\pi}{2}$ e coincide com o cosseno.

Exemplo completo: Para $f(x) = 3\sin(2x - \pi) + 1$, identifique todos os parâmetros.
Reescrevendo: $f(x) = 3\sin\!\left(2\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)\right) + 1$
Amplitude $= 3$ | Período $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ | Fase $= +\dfrac{\pi}{2}$ (desloca à direita) | Deslocamento vertical $= +1$
A função oscila entre $1-3 = -2$ e $1+3 = 4$; linha de equilíbrio em $y=1$.

📖 5. Equações Trigonométricas

Uma equação trigonométrica tem soluções periódicas — infinitas, em geral. Para resolver, localizamos as soluções no primeiro ciclo e usamos a periodicidade para gerar todas as demais.

Equações com seno

$\sin x = k \;\;(-1 \leq k \leq 1)$

Solução geral: $x = \arcsin(k) + 2k\pi$ ou $x = \pi - \arcsin(k) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Exemplo: Resolva $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ para $x \in [0°, 360°)$.
$\arcsin\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60°$. No círculo, $\sin x > 0$ no 1º e 2º quadrante.
$x_1 = 60°$ (1º Q) | $x_2 = 180° - 60° = 120°$ (2º Q)
$S = \{60°,\; 120°\}$

Equações com cosseno

$\cos x = k \;\;(-1 \leq k \leq 1)$

Solução geral: $x = \pm\arccos(k) + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Exemplo: Resolva $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ para $x \in [0°, 360°)$.
$\arccos\!\left(\frac{1}{2}\right) = 60°$. Como $k<0$, $\cos x < 0$ no 2º e 3º quadrante.
$x_1 = 180°-60° = 120°$ (2º Q) | $x_2 = 180°+60° = 240°$ (3º Q)
$S = \{120°,\; 240°\}$

Equações com tangente

$\tan x = k$

Solução geral: $x = \arctan(k) + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

Exemplo: Resolva $\tan x = \sqrt{3}$ para $x \in [0°, 360°)$.
$\arctan(\sqrt{3}) = 60°$. Tangente positiva no 1º e 3º quadrante.
$x_1 = 60°$ | $x_2 = 60° + 180° = 240°$
$S = \{60°,\; 240°\}$

📖 6. Identidades Trigonométricas Complementares

Além da identidade fundamental $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, existem outras identidades muito usadas em simplificações e provas:

Identidade Fundamental

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$

Adição de Arcos

$$\sin(a+b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$$ $$\cos(a+b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$$

Arco Duplo

$$\sin 2x = 2\sin x\cos x$$ $$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$$

Produto → Soma

$$\sin a\cos b = \frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}$$

Exemplo — Arco duplo: Se $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ e $\theta \in (0°, 90°)$, calcule $\sin 2\theta$ e $\cos 2\theta$.
$\cos\theta = \dfrac{4}{5}$ (1º quadrante, positivo)
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}$
$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}$

💡 Forma de meio ângulo: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$
Daí: $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}$ e $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$ — muito usadas para integração!

📖 7. Gráficos Sobrepostos e Análise Comparativa

Visualizar as três funções juntas permite comparar período, amplitude, zeros e comportamentos:

Figura 5: Sobreposição de $\sin x$ (azul), $\cos x$ (laranja) e $\tan x$ (verde). As linhas vermelhas tracejadas são as assíntotas da tangente em $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$. Seno e cosseno são "irmãos defasados"; a tangente tem período e imagem completamente diferentes.

📖 8. Leitura de Gráficos — Identificar a Função

Dado um gráfico, é possível identificar os parâmetros $A$, $B$, $C$, $D$ de $f(x) = A\sin(Bx+C)+D$ pelo roteiro:

1. Deslocamento vertical $D$: $D = \dfrac{y_{\max} + y_{\min}}{2}$ (média entre máximo e mínimo)

2. Amplitude $|A|$: $|A| = \dfrac{y_{\max} - y_{\min}}{2}$ (metade da variação total)

3. Período $T$: distância horizontal entre dois picos consecutivos. Então $B = \dfrac{2\pi}{T}$

4. Fase $C$: observar onde começa o ciclo (zero crescente ou pico) e calcular $C = -B \cdot x_0$

Exemplo: Um gráfico tem máximo $y = 5$, mínimo $y = -1$, período $T = 4$ e começa o pico em $x = 1$. Identifique $f(x)$.
$D = \dfrac{5+(-1)}{2} = 2$ | $|A| = \dfrac{5-(-1)}{2} = 3$ | $B = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$
O pico ocorre em $x_0 = 1$: para seno, pico quando $\dfrac{\pi}{2}x + C = \dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{\pi}{2}\cdot1 + C = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow C = 0$
$f(x) = 3\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}x\right) + 2$

⚠️ Cuidado com sinal de $A$: Se o gráfico começa descendo (em vez de subindo) no zero, $A < 0$. Alternativamente, use cosseno: $-\cos x = \sin(x - \frac{\pi}{2})$. Ambas as formas são equivalentes.

💡 Matemática em Ação

⚡ Engenharia Elétrica

A tensão da rede elétrica doméstica é $V(t) = 311\sin(120\pi t)$ volts. Amplitude $311$ V, período $\frac{1}{60}$ s (60 Hz). O valor eficaz (RMS) é $\frac{311}{\sqrt{2}} \approx 220$ V — o que as tomadas indicam.

🌊 Oceanografia

A altura das marés ao longo do dia é modelada por $h(t) = A\cos(Bt + C) + D$. Determinar $A$ (amplitude), $T$ (período marítimo ≈ 12h25min) e a fase permite prever quando a maré será alta ou baixa.

🔊 Processamento de Sinais

A análise de Fourier decompõe qualquer sinal periódico em somas de senos e cossenos. Isso é a base do MP3, da compressão JPEG e do processamento de áudio — cada frequência corresponde a uma função trigonométrica.

🏥 Medicina — ECG

O eletrocardiograma (ECG) registra a atividade elétrica do coração como uma onda aproximadamente periódica. Médicos analisam amplitude, período e forma da curva para detectar arritmias e outras condições.

✅ 5 Questões Resolvidas (R 1 a 5)

R 1: Identificar domínio, imagem e período

Enunciado: Para cada função, determine domínio, imagem e período:
(a) $f(x) = 4\sin(3x)$ (b) $g(x) = -\cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + 3$ (c) $h(x) = 2\tan(x)$

Resolução:
(a) Domínio: $\mathbb{R}$; Imagem: $[-4, 4]$; Período: $\dfrac{2\pi}{3}$

(b) Domínio: $\mathbb{R}$; Imagem: $[-(-1)+3,\;-1+3] = [2, 4]$; Período: $\dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi$

(c) Domínio: $\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right\}$; Imagem: $\mathbb{R}$; Período: $\pi$

R 2: Resolver equação trigonométrica

Enunciado: Resolva $\sin x = \dfrac{1}{2}$ para $x \in [0°, 360°)$. Em seguida, escreva a solução geral.

Resolução:
$\arcsin\!\left(\dfrac{1}{2}\right) = 30°$. Seno positivo no 1º e 2º quadrante.
$x_1 = 30°$ (1º Q) | $x_2 = 180° - 30° = 150°$ (2º Q)
No intervalo: $S = \{30°,\; 150°\}$
Solução geral: $x = 30° + 360°k$ ou $x = 150° + 360°k$, $k \in \mathbb{Z}$

R 3: Identificar parâmetros pelo gráfico

Enunciado: Uma função do tipo $f(x) = A\sin(Bx) + D$ tem máximo 7, mínimo 1 e período $\pi$. Determine $A$, $B$ e $D$.

Resolução:
$D = \dfrac{7+1}{2} = 4$ | $A = \dfrac{7-1}{2} = 3$ | $B = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2$
$f(x) = 3\sin(2x) + 4$
Verificação: máx $= 3+4=7$ ✓, mín $= -3+4=1$ ✓, período $= \frac{2\pi}{2}=\pi$ ✓

R 4: Arco duplo e identidades

Enunciado: Sabendo que $\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$ e $\theta \in (90°, 180°)$, calcule $\sin 2\theta$ e $\cos 2\theta$.

Resolução:
$\sin\theta = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \frac{3}{5}$ (positivo no 2º Q)
$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{24}{25}$
$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}$

R 5: Modelagem com função trigonométrica

Enunciado: A temperatura de uma cidade varia ao longo do dia segundo $T(t) = 8\sin\!\left(\dfrac{\pi}{12}t - \dfrac{\pi}{2}\right) + 22$, onde $t$ é a hora do dia (0 a 24). Determine: (a) temperatura máxima e mínima; (b) horário da temperatura máxima.

Resolução:
(a) Amplitude $= 8$; $D = 22$.
Temperatura máxima $= 22 + 8 = \mathbf{30°C}$ | Temperatura mínima $= 22 - 8 = \mathbf{14°C}$

(b) Máximo quando $\sin(\ldots) = 1$, ou seja, $\dfrac{\pi}{12}t - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{\pi}{12}t = \pi \Rightarrow t = 12$ h
Temperatura máxima às 12h (meio-dia).

✍️ 5 Questões Propostas (P 6 a 10)

P 6: Período e zeros

Enunciado: Para $f(x) = \sin\!\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$, determine: (a) o período; (b) os zeros no intervalo $[0, 2\pi)$.

Resolução:
(a) Período: $T = \dfrac{2\pi}{2} = \mathbf{\pi}$

(b) Zeros: $\sin\!\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0 \Rightarrow 2x - \dfrac{\pi}{3} = k\pi$
$x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$
Para $k=0$: $x=\frac{\pi}{6}$ ✓ $k=1$: $x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{3}$ ✓ $k=2$: $x=\frac{7\pi}{6}$ ✓ $k=3$: $x=\frac{5\pi}{3}$ ✓
$S = \left\{\dfrac{\pi}{6},\; \dfrac{2\pi}{3},\; \dfrac{7\pi}{6},\; \dfrac{5\pi}{3}\right\}$

P 7: Equação com cosseno

Enunciado: Resolva $\cos 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ para $x \in [0°, 360°)$.

Resolução:
$2x \in [0°, 720°)$. $\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow 2x = 30°$ ou $2x = 330°$ (e mais uma volta).
$2x = 30°, 330°, 390°, 690°$
$x = 15°, 165°, 195°, 345°$
$S = \{15°,\; 165°,\; 195°,\; 345°\}$

P 8: Amplitude negativa e reflexão

Enunciado: Esboce os parâmetros de $f(x) = -3\cos(x) + 1$: amplitude, período, máximo, mínimo e deslocamento. A curva "começa subindo ou descendo"?

Resolução:
Amplitude $= |-3| = 3$; Período $= 2\pi$; Deslocamento vertical $= +1$
Máximo $= 1+3 = 4$ (quando $\cos x = -1$, i.e., $x = \pi$)
Mínimo $= 1-3 = -2$ (quando $\cos x = 1$, i.e., $x = 0$)
O $A < 0$ faz a reflexão: $f(0) = -3(1)+1 = -2$ (começa no mínimo, vai subindo).
A curva começa no mínimo $(-2)$ e sobe.

P 9: Modelagem — maré

Enunciado: A altura de uma maré é dada por $h(t) = 3\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}t\right) + 5$ metros, onde $t$ é o tempo em horas. (a) Qual a altura máxima e mínima? (b) Qual o período? (c) Em que horários a maré está em 5 m?

Resolução:
(a) Máxima $= 5+3 = \mathbf{8}$ m | Mínima $= 5-3 = \mathbf{2}$ m
(b) Período: $T = \dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12$ h
(c) $h=5$: $\sin\!\left(\frac{\pi}{6}t\right)=0 \Rightarrow \frac{\pi}{6}t = k\pi \Rightarrow t = 6k$
A maré está em 5 m para $t = 0, 6, 12, 18, 24, \ldots$ horas.

P 10: Identificar a função pelo gráfico

Enunciado: Um gráfico do tipo $f(x) = A\cos(Bx + C)$ passa pelo máximo 4 em $x = 1$, tem mínimo $-4$ e período 8. Determine $A$, $B$ e $C$.

Resolução:
$A = \dfrac{4-(-4)}{2} = 4$ | $B = \dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4}$
Pico em $x=1$: $Bx + C = 0 \Rightarrow \dfrac{\pi}{4}\cdot1 + C = 0 \Rightarrow C = -\dfrac{\pi}{4}$
$f(x) = 4\cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}x - \dfrac{\pi}{4}\right)$
Verificação: $f(1) = 4\cos(0) = 4$ ✓

🎓 5 Questões de Vestibular (T 11 a 15)

T 11: (FUVEST) Período e amplitude

Enunciado: A função $f(x) = 3\sin(2x) - 1$ tem, respectivamente, amplitude e período iguais a:

A) 3 e $\pi$
B) 3 e $2\pi$
C) 6 e $\pi$
D) 2 e $\pi$
E) 3 e $4\pi$

Resposta: A
Amplitude $= |A| = |3| = 3$
Período $= \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$

T 12: (ENEM) Modelagem trigonométrica

Enunciado: A temperatura (°C) de uma cidade ao longo do dia é modelada por $T(t) = -5\cos\!\left(\dfrac{\pi}{12}t\right) + 20$, onde $t$ é a hora (0 a 24). A temperatura máxima e o horário em que ocorre são:

A) 25°C às 6h
B) 25°C às 12h
C) 25°C às 0h
D) 15°C às 12h
E) 20°C às 6h

Resposta: B
Máximo quando $-5\cos(\ldots)$ é máximo, ou seja, $\cos(\ldots) = -1$
$\dfrac{\pi}{12}t = \pi \Rightarrow t = 12$ h
$T_{\max} = -5(-1) + 20 = 5 + 20 = \mathbf{25°C}$ às 12h ✓

T 13: (UNICAMP) Equação trigonométrica

Enunciado: O número de soluções da equação $\cos x = \dfrac{1}{2}$ no intervalo $[0, 4\pi]$ é:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Resposta: D
$\cos x = \frac{1}{2}$: referência $60°$ ($\frac{\pi}{3}$), cosseno positivo no 1º e 4º Q.
Em $[0, 2\pi]$: $x = \frac{\pi}{3}$ e $x = \frac{5\pi}{3}$ → 2 soluções
Em $[2\pi, 4\pi]$: $x = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$ e $x = 2\pi + \frac{5\pi}{3} = \frac{11\pi}{3}$ → mais 2
Total: 4 soluções

T 14: (Mackenzie) Imagem da função

Enunciado: A imagem da função $f(x) = 2\sin x - 1$ é o intervalo:

A) $[-2, 2]$
B) $[-1, 1]$
C) $[-3, 1]$
D) $[-2, 1]$
E) $[-3, 3]$

Resposta: C
$\sin x \in [-1, 1]$, portanto $2\sin x \in [-2, 2]$
$2\sin x - 1 \in [-2-1,\; 2-1] = \mathbf{[-3, 1]}$

T 15: (UFMG) Análise de gráfico

Enunciado: A função $f(x) = A\sin(Bx + C)$ tem período $\pi$ e passa pelos pontos $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ e $\left(\frac{3\pi}{4}, 0\right)$ sendo crescente em $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$. Qual o valor de $B$?

A) $\dfrac{1}{2}$
B) $1$
C) $\dfrac{\pi}{2}$
D) $2$
E) $4$

Resposta: D
Período $= \pi \Rightarrow T = \dfrac{2\pi}{B} = \pi \Rightarrow B = \dfrac{2\pi}{\pi} = \mathbf{2}$