MATEMÁTICA EM AÇÃO

1º Ano | Aula: Círculo Trigonométrico — Ângulos, Arcos e Funções Trigonométricas

📚 Resumo

O círculo trigonométrico (ou ciclo trigonométrico) é uma circunferência de raio 1, centrada na origem do plano cartesiano. Ele estende as definições de seno, cosseno e tangente para qualquer ângulo real — positivo, negativo, maior que 360° —, superando a limitação do triângulo retângulo.

Ponto no círculo: $P(\theta) = (\cos\theta,\;\sin\theta)$

Seno: coordenada $y$  |  Cosseno: coordenada $x$  |  Tangente: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$

Identidade fundamental: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$  |  Período: $\sin$ e $\cos$ têm período $2\pi$ (= 360°)

📖 1. O Círculo Trigonométrico — Definição e Construção

O círculo trigonométrico é a circunferência de equação $x^2 + y^2 = 1$, centrada na origem $O(0,0)$ e de raio $r = 1$.

Todo ponto $P$ sobre essa circunferência pode ser representado por $P = (\cos\theta,\; \sin\theta)$, onde $\theta$ é o ângulo medido a partir do eixo positivo $x$, no sentido anti-horário.

Convenções do círculo trigonométrico:
• Raio: $r = 1$ (unitário)
• Centro: origem $O(0,0)$
• Sentido positivo: anti-horário (↺)
• Sentido negativo: horário (↻)
• Ponto de partida: $A = (1, 0)$, correspondente a $\theta = 0°$
• Os quatro pontos especiais: $A(1,0)$, $B(0,1)$, $A'(-1,0)$, $B'(0,-1)$
x y $A(1,0)$ $0°$ $B(0,1)$ $90°$ $A'(-1,0)$ $180°$ $B'(0,-1)$ $270°$ $30°$ $\frac{\pi}{6}$ $45°$ $\frac{\pi}{4}$ $60°$ $\frac{\pi}{3}$ $120°$ $\frac{2\pi}{3}$ $135°$ $\frac{3\pi}{4}$ $150°$ $\frac{5\pi}{6}$ $210°$ $\frac{7\pi}{6}$ $225°$ $\frac{5\pi}{4}$ $240°$ $\frac{4\pi}{3}$ $300°$ $\frac{5\pi}{3}$ $315°$ $\frac{7\pi}{4}$ $330°$ $\frac{11\pi}{6}$ sentido + (anti-horário) 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q O
Figura 1: Círculo trigonométrico com os 12 ângulos notáveis (30°, 45°, 60° e seus simétricos em todos os quadrantes). Cada cor representa um quadrante: verde (1º), azul (2º), vermelho (3º) e roxo (4º). Os pontos especiais nos eixos são $A(1,0)$, $B(0,1)$, $A'(-1,0)$ e $B'(0,-1)$.

📖 2. Medida de Arcos: Graus e Radianos

Um ângulo pode ser medido em graus (°) ou em radianos (rad). No círculo trigonométrico de raio 1, o arco correspondente a um ângulo em radianos tem comprimento numérico igual ao valor do ângulo.

$$1\text{ volta completa} = 360° = 2\pi \text{ rad}$$

Conversão: $\theta_{\text{rad}} = \dfrac{\pi}{180°} \cdot \theta_{°}$      e      $\theta_{°} = \dfrac{180°}{\pi} \cdot \theta_{\text{rad}}$

Tabela de conversão dos ângulos notáveis

Graus (°)Radianos (rad)Fração de volta
$0°$ $0$ —
$30°$ $\dfrac{\pi}{6}$ $\dfrac{1}{12}$ de volta
$45°$ $\dfrac{\pi}{4}$ $\dfrac{1}{8}$ de volta
$60°$ $\dfrac{\pi}{3}$ $\dfrac{1}{6}$ de volta
$90°$ $\dfrac{\pi}{2}$ $\dfrac{1}{4}$ de volta
$120°$ $\dfrac{2\pi}{3}$ $\dfrac{1}{3}$ de volta
$135°$ $\dfrac{3\pi}{4}$ $\dfrac{3}{8}$ de volta
$150°$ $\dfrac{5\pi}{6}$ $\dfrac{5}{12}$ de volta
$180°$ $\pi$ $\dfrac{1}{2}$ de volta
$270°$ $\dfrac{3\pi}{2}$ $\dfrac{3}{4}$ de volta
$360°$ $2\pi$ 1 volta completa
💡 Macete de conversão: Para converter graus em radianos, multiplique por $\dfrac{\pi}{180}$. Para converter radianos em graus, multiplique por $\dfrac{180}{\pi}$. Ou memorize: $\pi$ rad = 180°, então $\dfrac{\pi}{2}$ = 90°, $\dfrac{\pi}{4}$ = 45°, etc.

Exemplos de conversão:
$270° = 270 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{3\pi}{2}$ rad
$\dfrac{5\pi}{6}$ rad $= \dfrac{5\pi}{6} \times \dfrac{180°}{\pi} = \dfrac{5 \times 180°}{6} = 150°$

📖 3. Definição de Seno e Cosseno no Círculo

No círculo trigonométrico, para um ângulo $\theta$, o ponto $P(\theta)$ sobre a circunferência tem coordenadas:

$$P(\theta) = (\cos\theta,\;\sin\theta)$$

$\cos\theta$ = abscissa ($x$) do ponto    |    $\sin\theta$ = ordenada ($y$) do ponto

x y 1 1 -1 -1 θ P(cosθ, senθ) sen θ (coord. y) sen θ cos θ (coord. x) raio = 1 Identidade fundamental: sen²θ + cos²θ = 1 Tangente: tan θ = senθ / cosθ
Figura 2: Ponto $P(\theta)$ no círculo trigonométrico. O cosseno é a projeção horizontal (azul) — abscissa $x$. O seno é a projeção vertical (verde) — ordenada $y$. O raio tem comprimento 1, confirmando a identidade fundamental.

Valores nos pontos dos eixos

ÂnguloPonto$\cos\theta$$\sin\theta$$\tan\theta$
$0°$ ou $0$ $A(1,0)$ $1$ $0$ $0$
$90°$ ou $\pi/2$ $B(0,1)$ $0$ $1$ $\nexists$
$180°$ ou $\pi$ $A'(-1,0)$ $-1$ $0$ $0$
$270°$ ou $3\pi/2$ $B'(0,-1)$$0$ $-1$ $\nexists$
$360°$ ou $2\pi$ $A(1,0)$ $1$ $0$ $0$

📖 4. Os Quatro Quadrantes — Sinais das Funções

O círculo é dividido em quatro quadrantes pelos eixos. Em cada quadrante, seno e cosseno têm sinais definidos — e a tangente herda o sinal do quociente:

1º Quadrante (0° a 90°)

$\cos\theta > 0$ (x positivo)
$\sin\theta > 0$ (y positivo)
$\tan\theta > 0$
Todas positivas ✓

2º Quadrante (90° a 180°)

$\cos\theta < 0$ (x negativo)
$\sin\theta > 0$ (y positivo)
$\tan\theta < 0$
Só seno positivo

3º Quadrante (180° a 270°)

$\cos\theta < 0$ (x negativo)
$\sin\theta < 0$ (y negativo)
$\tan\theta > 0$
Só tangente positiva

4º Quadrante (270° a 360°)

$\cos\theta > 0$ (x positivo)
$\sin\theta < 0$ (y negativo)
$\tan\theta < 0$
Só cosseno positivo

💡 Mnemônico "ASTC" (lê-se todos, seno, tangente, cosseno):
Percorrendo os quadrantes em ordem, a função positiva em cada um é:
All → Sine → Tangent → Cosine
(ou em português: Todas → Seno → Tangente → Cosseno)
1º Q sen ✓ cos ✓ tan ✓ 2º Q sen ✓ cos ✗ tan ✗ 3º Q sen ✗ cos ✗ tan ✓ 4º Q sen ✗ cos ✓ tan ✗ x y O ✓ = positivo     ✗ = negativo
Figura 3: Sinais das funções trigonométricas nos quatro quadrantes. No 1º todas são positivas; no 2º só seno; no 3º só tangente; no 4º só cosseno.

📖 5. Tabela Completa dos Ângulos Notáveis

A tabela abaixo reúne todos os valores das funções nos ângulos notáveis dos quatro quadrantes. Os sinais seguem as regras de cada quadrante:

Ângulo (°) Ângulo (rad) Quadrante $\sin\theta$ $\cos\theta$ $\tan\theta$
$0°$ $0$ eixo $0$ $1$ $0$
$30°$ $\frac{\pi}{6}$ 1º $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$ $\frac{\pi}{4}$ 1º $\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$1$
$60°$ $\frac{\pi}{3}$ 1º $\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{1}{2}$ $\sqrt{3}$
$90°$ $\frac{\pi}{2}$ eixo $1$ $0$ $\nexists$
$120°$ $\frac{2\pi}{3}$ 2º $\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{1}{2}$ $-\sqrt{3}$
$135°$ $\frac{3\pi}{4}$ 2º $\frac{\sqrt{2}}{2}$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$-1$
$150°$ $\frac{5\pi}{6}$ 2º $\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$180°$ $\pi$ eixo $0$ $-1$ $0$
$210°$ $\frac{7\pi}{6}$ 3º $-\frac{1}{2}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$225°$ $\frac{5\pi}{4}$ 3º $-\frac{\sqrt{2}}{2}$$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$1$
$240°$ $\frac{4\pi}{3}$ 3º $-\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{1}{2}$ $\sqrt{3}$
$270°$ $\frac{3\pi}{2}$ eixo $-1$ $0$ $\nexists$
$300°$ $\frac{5\pi}{3}$ 4º $-\frac{\sqrt{3}}{2}$$\frac{1}{2}$ $-\sqrt{3}$
$315°$ $\frac{7\pi}{4}$ 4º $-\frac{\sqrt{2}}{2}$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$-1$
$330°$ $\frac{11\pi}{6}$ 4º $-\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
$360°$ $2\pi$ eixo $0$ $1$ $0$

📖 6. Ângulos Côngruos, Opostos e Simétricos

Ângulos diferentes podem corresponder ao mesmo ponto no círculo trigonométrico — e, portanto, ter os mesmos valores de seno e cosseno. Esses ângulos são chamados de côngruos.

Ângulos côngruos: dois ângulos são côngruos se diferem por um múltiplo inteiro de $360°$ (ou $2\pi$):

$$\theta' \equiv \theta + 360° \cdot k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$\Rightarrow \sin(\theta + 360°k) = \sin\theta \quad$ e $\quad \cos(\theta + 360°k) = \cos\theta$

Simetrias no círculo trigonométrico

Ângulo oposto ($-\theta$ ou $360° - \theta$) — simetria pelo eixo $x$:
$\sin(-\theta) = -\sin\theta$    $\cos(-\theta) = \cos\theta$    $\tan(-\theta) = -\tan\theta$

Ângulo suplementar ($180° - \theta$) — simetria pelo eixo $y$:
$\sin(180°-\theta) = \sin\theta$    $\cos(180°-\theta) = -\cos\theta$

Ângulo $\theta + 180°$ — simetria pela origem:
$\sin(\theta+180°) = -\sin\theta$    $\cos(\theta+180°) = -\cos\theta$

Ângulo complementar ($90° - \theta$):
$\sin(90°-\theta) = \cos\theta$    $\cos(90°-\theta) = \sin\theta$

Exemplos de uso:
$\sin 150° = \sin(180°-30°) = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$
$\cos 150° = -\cos 30° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 210° = \sin(180°+30°) = -\sin 30° = -\dfrac{1}{2}$
$\cos 330° = \cos(-30°) = \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

P(θ) θ P(−θ) −θ simetria eixo x P(180°−θ) simetria eixo y P(180°+θ) simetria pela origem RESUMO $-\theta$: sen $\to -$sen; cos $\to +$cos $180°-\theta$: sen $\to +$sen; cos $\to -$cos $180°+\theta$: sen $\to -$sen; cos $\to -$cos $360°+\theta$: sen e cos iguais
Figura 4: As quatro simetrias no círculo trigonométrico. Dado o ponto $P(\theta)$ (laranja) no 1º quadrante, os pontos simétricos são: pelo eixo $x$ → $P(-\theta)$ (roxo, 4º Q); pelo eixo $y$ → $P(180°-\theta)$ (azul, 2º Q); pela origem → $P(180°+\theta)$ (vermelho, 3º Q).

📖 7. Periodicidade — Ângulos Além de 360°

Como o círculo tem exatamente $360°$ (ou $2\pi$ rad), ao completar uma volta, as funções repetem seus valores. Isso é a periodicidade:

$$\sin(\theta + 360°\cdot k) = \sin\theta \qquad \cos(\theta + 360°\cdot k) = \cos\theta, \quad k \in \mathbb{Z}$$

O período de seno e cosseno é $360°$ (ou $2\pi$ rad).
O período da tangente é $180°$ (ou $\pi$ rad).

Exemplos com ângulos "grandes":
$\sin 390° = \sin(360°+30°) = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$
$\cos(-45°) = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$   (pois cosseno é par)
$\sin 750° = \sin(2\times360°+30°) = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$
$\tan 225° = \tan(180°+45°) = \tan 45° = 1$   (período de $180°$)

⚠️ Estratégia para ângulos grandes: divida o ângulo por 360° e use o resto da divisão. Esse resto é o ângulo equivalente no 1º ciclo. Então localize o quadrante e aplique os sinais corretos.

📖 8. A Linha da Tangente no Círculo

A tangente de um ângulo pode ser visualizada geometricamente como o comprimento do segmento na reta tangente vertical ao círculo no ponto $A(1,0)$:

Traça-se a reta tangente ao círculo em $A(1, 0)$ (reta vertical $x = 1$). Prolonga-se o raio $OP$ até encontrar essa reta no ponto $T$. O valor algébrico de $AT$ é exatamente $\tan\theta$.

• Se $0° < \theta < 90°$: $T$ está acima de $A$, $\tan\theta > 0$ ✓
• Se $90° < \theta < 180°$: $T$ está abaixo de $A$, $\tan\theta < 0$ ✓
• Para $\theta = 90°$ ou $\theta = 270°$: a reta $OP$ é paralela à tangente — $\tan$ é indefinida.

Domínio da tangente: $\theta \neq 90° + 180°k$, ou seja, $\theta \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

💡 Resumo das funções recíprocas:
$\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$  |  $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$  |  $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Essas funções têm representações geométricas análogas em outras tangentes ao círculo.

💡 Matemática em Ação

🎵 Ondas Sonoras

O som é uma onda periódica modelada por $y = A\sin(\omega t + \phi)$. A periodicidade do seno no círculo trigonométrico explica por que notas musicais se repetem em oitavas — $f(t + T) = f(t)$, onde $T$ é o período.

⚡ Corrente Elétrica Alternada

A tensão da tomada doméstica varia como $V(t) = 127\sqrt{2}\cdot\sin(120\pi t)$. O círculo trigonométrico explica o comportamento periódico da corrente alternada (CA) e a relação entre tensão de pico e eficaz.

🌊 Marés e Astronomia

As marés, as fases da Lua e as posições dos planetas são descritas por funções trigonométricas periódicas. O círculo trigonométrico é a base para calcular posições angulares em órbitas circulares.

🖥️ Computação Gráfica

Rotações de objetos em 2D e 3D usam matrizes com seno e cosseno. Para girar um ponto $(x, y)$ em $\theta$ graus: $x' = x\cos\theta - y\sin\theta$ e $y' = x\sin\theta + y\cos\theta$ — fórmulas diretas do círculo.

✅ 5 Questões Resolvidas (R 1 a 5)

R 1: Localizar ângulo no círculo e calcular as funções

Enunciado: Determine $\sin\theta$, $\cos\theta$ e $\tan\theta$ para $\theta = 240°$.

Resolução:
$240° = 180° + 60°$ → está no 3º quadrante (simetria pela origem de 60°).
No 3º quadrante: seno e cosseno negativos, tangente positiva.
$\sin 240° = -\sin 60° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 240° = -\cos 60° = -\dfrac{1}{2}$
$\tan 240° = \dfrac{\sin 240°}{\cos 240°} = \dfrac{-\sqrt{3}/2}{-1/2} = \sqrt{3}$ ✓ (positivo no 3º Q)

R 2: Converter e localizar em radianos

Enunciado: Converta $\dfrac{7\pi}{4}$ radianos para graus, localize no círculo e calcule $\sin$ e $\cos$.

Resolução:
$\dfrac{7\pi}{4} \times \dfrac{180°}{\pi} = \dfrac{7 \times 180°}{4} = 315°$
$315° = 360° - 45°$ → 4º quadrante, simétrico de 45° pelo eixo $x$.
$\sin 315° = -\sin 45° = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 315° = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

R 3: Ângulo no 2º quadrante pela identidade

Enunciado: Sabendo que $\theta$ está no 2º quadrante e $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$, calcule $\cos\theta$ e $\tan\theta$.

Resolução:
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$
Como $\theta$ está no 2º quadrante: $\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$ (negativo no 2º Q)
$\tan\theta = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}$ (negativo no 2º Q ✓)

R 4: Ângulo negativo e periodicidade

Enunciado: Calcule: (a) $\sin(-210°)$   (b) $\cos(750°)$   (c) $\tan\left(\dfrac{13\pi}{4}\right)$

Resolução:
(a) $\sin(-210°) = -\sin(210°) = -(-\sin30°) = \sin30° = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$
(b) $\cos(750°) = \cos(750° - 2\times360°) = \cos(30°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$
(c) $\dfrac{13\pi}{4} = \dfrac{12\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = 3\pi + \dfrac{\pi}{4} = \pi + 2\pi + \dfrac{\pi}{4}$
$\tan\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) = \tan\left(\pi + \dfrac{\pi}{4}\right) = \tan\dfrac{\pi}{4} = \mathbf{1}$ (período $\pi$)

R 5: Equação trigonométrica simples no círculo

Enunciado: Encontre todos os valores de $\theta \in [0°, 360°)$ tais que $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$.

Resolução:
$\cos\theta = -\dfrac{1}{2} < 0$ → $\theta$ está no 2º ou 3º quadrante.
O ângulo de referência com $|\cos| = \frac{1}{2}$ é $60°$.
No 2º quadrante: $\theta = 180° - 60° = \mathbf{120°}$
No 3º quadrante: $\theta = 180° + 60° = \mathbf{240°}$
$S = \{120°, 240°\}$

✍️ 5 Questões Propostas (P 6 a 10)

P 6: Calcular as funções pelo quadrante

Enunciado: Determine $\sin\theta$, $\cos\theta$ e $\tan\theta$ para $\theta = 330°$.

Resolução:
$330° = 360° - 30°$ → 4º quadrante (simetria de $30°$ pelo eixo $x$).
$\sin 330° = -\sin 30° = -\dfrac{1}{2}$
$\cos 330° = \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan 330° = -\tan 30° = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

P 7: Equação com seno

Enunciado: Encontre $\theta \in [0°, 360°)$ tal que $\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Resolução:
$\sin\theta < 0$ → 3º ou 4º quadrante. Ângulo de referência: $45°$.
3º Q: $\theta = 180° + 45° = 225°$
4º Q: $\theta = 360° - 45° = 315°$
$S = \{225°, 315°\}$

P 8: Ângulo negativo em radianos

Enunciado: Calcule $\sin\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)$ e $\cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right)$.

Resolução:
$-\dfrac{5\pi}{6} = -150°$
$\sin(-150°) = -\sin(150°) = -\sin(30°) = -\dfrac{1}{2}$
$\cos(-150°) = \cos(150°) = -\cos(30°) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

P 9: Identidade com quadrante

Enunciado: Se $\tan\theta = -\sqrt{3}$ e $\theta \in (90°, 180°)$, determine $\sin\theta$ e $\cos\theta$.

Resolução:
$\theta$ no 2º quadrante (seno+, cosseno−) e $\tan\theta = -\sqrt{3}$.
O ângulo de referência com $|\tan| = \sqrt{3}$ é $60°$.
$\theta = 180° - 60° = 120°$
$\sin 120° = \sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 120° = -\cos 60° = -\dfrac{1}{2}$

P 10: Periodicidade avançada

Enunciado: Simplifique: $\cos\left(\dfrac{19\pi}{3}\right) + \sin\left(\dfrac{-9\pi}{4}\right)$

Resolução:
$\dfrac{19\pi}{3} = \dfrac{18\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3} = 6\pi + \dfrac{\pi}{3} = 3\times2\pi + \dfrac{\pi}{3}$
$\cos\left(\dfrac{19\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$

$-\dfrac{9\pi}{4} = -\dfrac{8\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} = -2\pi - \dfrac{\pi}{4}$
$\sin\left(-\dfrac{9\pi}{4}\right) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Resultado: $\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{1-\sqrt{2}}{2}$

🎓 5 Questões de Vestibular (T 11 a 15)

T 11: (FUVEST) Sinal de funções trigonométricas

Enunciado: Se $\sin\theta < 0$ e $\cos\theta > 0$, então $\theta$ está no:

  • A) 1º quadrante
  • B) 2º quadrante
  • C) 3º quadrante
  • D) 4º quadrante
  • E) Eixo positivo de $y$

Resposta: D
$\sin\theta < 0$ (y negativo) → 3º ou 4º quadrante.
$\cos\theta > 0$ (x positivo) → 1º ou 4º quadrante.
Interseção: 4º quadrante.

T 12: (ENEM) Conversão e cálculo

Enunciado: O valor de $\sin\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)$ é:

  • A) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  • B) $\dfrac{1}{2}$
  • C) $-\dfrac{1}{2}$
  • D) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  • E) $-1$

Resposta: D
$\dfrac{5\pi}{3} = 300°$ (4º quadrante, seno negativo).
$\sin 300° = -\sin 60° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

T 13: (UNICAMP) Identidade e quadrante

Enunciado: Se $\cos\theta = -\dfrac{5}{13}$ e $\sin\theta < 0$, então $\tan\theta$ vale:

  • A) $-\dfrac{12}{5}$
  • B) $\dfrac{12}{5}$
  • C) $-\dfrac{5}{12}$
  • D) $\dfrac{5}{12}$
  • E) $-\dfrac{13}{12}$

Resposta: B
$\cos\theta < 0$ e $\sin\theta < 0$ → 3º quadrante.
$\sin^2\theta = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$; $\sin\theta = -\dfrac{12}{13}$ (negativo no 3º Q).
$\tan\theta = \dfrac{-12/13}{-5/13} = \dfrac{12}{5}$ (positivo no 3º Q ✓)

T 14: (Mackenzie) Periodicidade

Enunciado: O valor de $\cos(1020°)$ é igual a:

  • A) $-1$
  • B) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  • C) $-\dfrac{1}{2}$
  • D) $\dfrac{1}{2}$
  • E) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Resposta: C
$1020° = 2\times360° + 300°$, logo $\cos(1020°) = \cos(300°)$.
$300° = 360°-60°$ (4º quadrante): $\cos 300° = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$.
Aguarde — $300° = 360°-60°$, cosseno positivo no 4ºQ: $\cos300°=\frac{1}{2}$... mas então resposta D.
Recalculando: $1020 \div 360 = 2$ resto $300$. $\cos300° = \cos(-60°) = \cos60° = \frac{1}{2}$.
Resposta: D — $\cos(1020°) = \dfrac{1}{2}$

T 15: (UFMG) Simetria no círculo

Enunciado: Se $\sin\alpha = 0{,}6$ e $\alpha$ está no 1º quadrante, então $\sin(180° + \alpha)$ é igual a:

  • A) $0{,}6$
  • B) $-0{,}6$
  • C) $0{,}8$
  • D) $-0{,}8$
  • E) $0{,}36$

Resposta: B
$\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha = -0{,}6$
(Simetria pela origem: no 3º quadrante, o seno é oposto ao do 1º quadrante.)