1º Ano | Aula: Trigonometria num Triângulo Qualquer — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos
📚 Resumo
Num triângulo qualquer (oblíquo), não há ângulo reto, e as razões de seno, cosseno e tangente do triângulo retângulo não se aplicam diretamente. Para resolver esses triângulos, usamos a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos — dois teoremas fundamentais da trigonometria.
Lei dos Senos:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
Num triângulo $ABC$, adotamos a notação padrão: os lados são representados por letras minúsculas correspondentes aos vértices opostos, e os ângulos por letras maiúsculas.
Notação padrão para o triângulo $ABC$:
• $A$, $B$, $C$ = ângulos internos nos vértices correspondentes
• $a$ = lado oposto ao ângulo $A$ (= $BC$)
• $b$ = lado oposto ao ângulo $B$ (= $AC$)
• $c$ = lado oposto ao ângulo $C$ (= $AB$)
• $A + B + C = 180°$ (soma dos ângulos internos)
• $R$ = raio da circunferência circunscrita ao triângulo
Figura 1: Triângulo qualquer $ABC$ com notação padrão. Cada lado recebe a letra minúscula do ângulo oposto: $a$ oposto a $A$, $b$ oposto a $B$, $c$ oposto a $C$. A circunferência tracejada é a circunscrita de raio $R$.
Figura 2: Demonstração da Lei dos Senos pela altura $h_c$. Os dois triângulos retângulos compartilham $h_c = b\sin A = a\sin B$, o que implica $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
Exemplo 2: Num triângulo $ABC$, $a = 10$, $b = 5\sqrt{2}$ e $A = 45°$. Calcule $B$.
$\dfrac{\sin B}{b} = \dfrac{\sin A}{a} \Rightarrow \sin B = \dfrac{5\sqrt{2} \cdot \sin 45°}{10} = \dfrac{5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$
$B = 30°$ (ou $B = 150°$, verificar se é compatível com o triângulo)
⚠️ Caso ambíguo (LLA): Quando dados dois lados e um ângulo oposto a um deles, podem existir 0, 1 ou 2 triângulos possíveis. Isso ocorre porque $\sin B = k$ pode resultar em $B$ ou $180° - B$ — sempre verifique se ambas as soluções formam um triângulo válido ($A + B + C = 180°$, com todos os ângulos positivos).
📖 3. Lei dos Cossenos
Lei dos Cossenos — Forma 1
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$
Calcula $a$ dado $b$, $c$ e $A$ (ângulo oposto a $a$)
Lei dos Cossenos — Forma 2
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$
Calcula $b$ dado $a$, $c$ e $B$
Lei dos Cossenos — Forma 3
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$
Calcula $c$ dado $a$, $b$ e $C$
Forma inversa — calcular ângulos (dados os três lados)
$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \qquad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$
Conexão com Pitágoras
Quando $A = 90°$, temos $\cos A = 0$, e a Lei dos Cossenos se reduz ao Teorema de Pitágoras:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot 0 = b^2 + c^2$ ✓
A Lei dos Cossenos é, portanto, uma generalização do Teorema de Pitágoras para qualquer triângulo.
Demonstração da Lei dos Cossenos
Traçando a altura $h$ de $C$ ao pé $H$ em $AB$: definindo $AH = x$ e $HB = c - x$ (triângulo acutângulo).
No triângulo retângulo $ACH$: $\cos A = \dfrac{x}{b} \Rightarrow x = b\cos A$ e $h^2 = b^2 - x^2$
Figura 3: Demonstração da Lei dos Cossenos. Traçando a altura $h$ e usando o Teorema de Pitágoras nos dois triângulos retângulos formados, obtemos $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$.
A área de um triângulo qualquer pode ser calculada a partir de dois lados e o ângulo entre eles:
$$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$$
ou equivalentemente (fórmula de Heron, para três lados conhecidos):
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad \text{onde } p = \frac{a+b+c}{2}$$
Demonstração da fórmula de área
A área é sempre $S = \dfrac{\text{base} \times \text{altura}}{2}$.
Tomando $c$ como base e $h_c$ como altura a partir de $C$:
$h_c = b\sin A$ (projetando $b$ sobre a vertical)
$S = \dfrac{c \cdot h_c}{2} = \dfrac{c \cdot b \sin A}{2} = \dfrac{bc\sin A}{2}$ $\square$
Exemplo 1: Calcule a área do triângulo com $a = 6$, $b = 8$ e $C = 30°$.
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30° = \dfrac{1}{2} \cdot 48 \cdot \dfrac{1}{2} = \mathbf{12}$ u²
💡 Caso particular: Para o triângulo equilátero de lado $\ell$, com $A = B = C = 60°$:
$S = \dfrac{\ell^2 \cdot \sin 60°}{2} = \dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}$ — fórmula clássica que você já conhece!
📖 5. Raio da Circunferência Circunscrita
A Lei dos Senos também fornece o raio $R$ da circunferência circunscrita ao triângulo:
Figura 4: Triângulo com suas circunferências — circunscrita (azul, raio $R$) e inscrita (laranja, raio $r$). O raio $R$ é calculado pela Lei dos Senos; o raio $r$ pela fórmula $r = S/p$, onde $S$ é a área e $p$ o semiperímetro.
Raio da Circunferência Inscrita
$$r = \frac{S}{p}, \quad \text{onde } p = \frac{a+b+c}{2} \text{ é o semiperímetro}$$
📖 6. Resolução Completa de um Triângulo
Resolver um triângulo significa encontrar todos os lados e ângulos a partir dos dados fornecidos. O roteiro depende do caso (ALA, LAA, LAL, LLL):
Caso
Dados
Estratégia
Observação
ALA
$A$, $c$, $B$
$C = 180°-A-B$; Lei dos Senos para $a$ e $b$
Único triângulo
LAA
$a$, $A$, $B$
$C = 180°-A-B$; Lei dos Senos para $b$ e $c$
Único triângulo
LAL
$b$, $A$, $c$
Lei dos Cossenos para $a$; Lei dos Senos para $B$ ou $C$
Único triângulo
LLA
$a$, $b$, $A$
Lei dos Senos para $B$; cuidado com caso ambíguo
0, 1 ou 2 triângulos
LLL
$a$, $b$, $c$
Lei dos Cossenos para todos os ângulos
Único triângulo (se válido)
Resolução completa — caso LAL: $b = 5$, $A = 60°$, $c = 8$. Calcule todo o triângulo. Passo 1 — Lei dos Cossenos para $a$:
$a^2 = 25 + 64 - 2\cdot5\cdot8\cdot\dfrac{1}{2} = 89 - 40 = 49 \Rightarrow a = 7$
Passo 2 — Lei dos Senos para $B$:
$\sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{7} = \dfrac{5\sqrt{3}}{14} \approx 0{,}619 \Rightarrow B \approx 38{,}2°$
📖 7. Triângulos Especiais — Equilátero, Isósceles e Obtusângulo
Triângulo equilátero
Lados $a = b = c = \ell$, ângulos $A = B = C = 60°$ Altura: $h = \dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}$ Área: $S = \dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}$ $R$ (circunscrita): $R = \dfrac{\ell}{\sqrt{3}} = \dfrac{\ell\sqrt{3}}{3}$ $r$ (inscrita): $r = \dfrac{\ell\sqrt{3}}{6} = \dfrac{R}{2}$
Triângulo isósceles
Lados $b = c$ (iguais) e ângulos $B = C$. A Lei dos Senos confirma: $\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$ e $b=c \Rightarrow \sin B = \sin C \Rightarrow B = C$ ✓
Triângulo obtusângulo — Lei dos Cossenos e ângulo obtuso
Quando um ângulo é obtuso (maior que 90°), seu cosseno é negativo. Isso aparece na Lei dos Cossenos:
Se $\cos A < 0$: o termo $-2bc\cos A$ se torna positivo, fazendo $a^2 > b^2 + c^2$ — o lado oposto ao ângulo obtuso é o maior do triângulo.
⚠️ Verificação de triângulo válido: Dados três lados $a$, $b$, $c$, eles formam um triângulo se e somente se cada lado é menor que a soma dos outros dois: $a < b+c$, $b < a+c$, $c < a+b$. Isso é a desigualdade triangular.
💡 Matemática em Ação
🗺️ Topografia e Agrimensura
Medir áreas de terrenos irregulares exige dividir a área em triângulos e aplicar a Lei dos Senos e dos Cossenos. Topógrafos calculam distâncias inacessíveis por triangulação, medindo ângulos e um lado de referência.
⚓ Navegação Marítima
Pilotos de barco usam a Lei dos Senos para determinar posição: conhecendo a distância a dois faróis e o ângulo entre eles, calculam a distância até cada farol e a posição exata da embarcação.
🏛️ Arquitetura e Estruturas
Vigas em ângulos oblíquos, treliças e telhados com inclinações não-ortogonais são calculados com trigonometria oblíqua. A lei dos cossenos determina o comprimento de diagonais em estruturas triangulares.
🌍 Geodésia e GPS
A determinação da posição na Terra usa triangulação por satélites. A distância entre dois pontos no globo envolve variantes esféricas das Leis dos Senos e Cossenos da trigonometria esférica.
✅ 5 Questões Resolvidas (R 1 a 5)
R 1: Lei dos Senos — caso ALA
Enunciado: Num triângulo $ABC$, $A = 45°$, $B = 75°$ e $c = 10$ (lado oposto a $C = 60°$). Calcule $a$ e $b$.
Enunciado: Num triângulo, $a = 7$, $c = 5$ e $B = 60°$. Calcule $b$ e a área do triângulo.
Resolução:
Lei dos Cossenos: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B = 49 + 25 - 2\cdot7\cdot5\cdot\dfrac{1}{2} = 74 - 35 = 39$
$b = \sqrt{39} \approx \mathbf{6{,}24}$
Área: $S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \sin 60° = \dfrac{35\sqrt{3}}{4} \approx \mathbf{15{,}1}$ u²
R 3: Lei dos Cossenos — caso LLL
Enunciado: Num triângulo com lados $a = 8$, $b = 6$, $c = 7$, calcule o maior ângulo.
Resolução:
O maior ângulo é oposto ao maior lado $a = 8$:
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{36 + 49 - 64}{2\cdot6\cdot7} = \dfrac{21}{84} = \dfrac{1}{4}$
$A = \arccos\dfrac{1}{4} \approx \mathbf{75{,}5°}$
R 4: Fórmula de área trigonométrica
Enunciado: Um terreno triangular tem lados de 120 m e 80 m formando um ângulo de 30° entre eles. Calcule a área do terreno.
Enunciado: Num triângulo $ABC$, $a = 10$, $b = 6$ e $A = 120°$. Encontre $B$.
Resolução:
$\sin B = \dfrac{b\sin A}{a} = \dfrac{6\sin 120°}{10} = \dfrac{6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{10} = \dfrac{3\sqrt{3}}{10} \approx 0{,}5196$
$B \approx 31{,}3°$ (valor agudo, pois $A = 120°$ já é obtuso, o triângulo deve ter $B + C = 60°$) $B \approx 31{,}3°$
P 7: Lei dos Cossenos — verificação
Enunciado: Verifique se os lados 3, 5 e 7 formam um triângulo. Em caso positivo, classifique-o quanto aos ângulos.
Resolução:
Verificação: $3+5=8>7$ ✓, $3+7=10>5$ ✓, $5+7=12>3$ ✓ → triângulo válido.
Maior ângulo ($A$, oposto a $a=7$):
$\cos A = \dfrac{9+25-49}{2\cdot3\cdot5} = \dfrac{-15}{30} = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow A = 120°$ Triângulo obtusângulo (ângulo de 120° é obtuso).
P 8: Área pelo seno
Enunciado: Num triângulo $ABC$, $b = 10$ cm, $c = 8$ cm e $A = 45°$. Calcule a área e o lado $a$.
Lado $a$ (Lei dos Cossenos):
$a^2 = 100+64-2\cdot10\cdot8\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 164-80\sqrt{2} \approx 164-113 = 51$
$a \approx \mathbf{7{,}1}$ cm
P 9: Distância inacessível (topografia)
Enunciado: Para medir a largura de um rio, dois observadores $A$ e $B$ estão na mesma margem, separados por 100 m. Ambos medem o ângulo para um ponto $C$ na outra margem: $\hat{A} = 70°$ e $\hat{B} = 65°$. Calcule a largura $h$ do rio (distância de $C$ à linha $AB$).
Resolução:
$C = 180° - 70° - 65° = 45°$ (ângulo em $C$)
$c = AB = 100$ m (lado oposto a $C$)
Lei dos Senos: $a = \dfrac{100\sin70°}{\sin45°} = \dfrac{100\cdot0{,}940}{0{,}707} \approx 132{,}9$ m ($a = BC$)
Altura $h = a\cdot\sin B = 132{,}9\cdot\sin65° \approx 132{,}9\cdot0{,}906 \approx \mathbf{120{,}4}$ m
P 10: Fórmula de Heron
Enunciado: Um terreno triangular tem perímetro 60 m e lados 15 m, 20 m e 25 m. Calcule a área usando a Fórmula de Heron e identifique o tipo de triângulo.