1º Ano | Aula: Progressão Geométrica (PG) — Termos, Razão, Fórmulas e Soma
📚 Resumo
Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica em que o quociente entre dois termos consecutivos é sempre constante. Esse quociente chama-se razão ($q$).
Uma sequência $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n)$ é uma PG se e somente se:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad \text{(constante, para todo } n \geq 1,\; a_n \neq 0\text{)}$$
onde $q$ é chamado de razão da progressão.
De forma equivalente, cada termo (exceto o primeiro) é obtido multiplicando o termo anterior pela razão $q$:
$a_1$
$\times q$
→
$a_2$
$\times q$
→
$a_3$
$\times q$
→
$\cdots$
$\times q$
→
$a_n$
Diferença fundamental entre PA e PG
📐 Progressão Aritmética (PA)
Operação: adição da razão $r$
$a_{n+1} = a_n + r$
Ex: $(2, 5, 8, 11, \ldots)$ com $r = 3$
📐 Progressão Geométrica (PG)
Operação: multiplicação pela razão $q$
$a_{n+1} = a_n \cdot q$
Ex: $(2, 6, 18, 54, \ldots)$ com $q = 3$
Exemplos de PG
Sequência
Razão $q$
Classificação
$(2,\; 6,\; 18,\; 54,\; 162, \ldots)$
$q = 3$
Crescente ($q > 1$, $a_1 > 0$)
$(32,\; 16,\; 8,\; 4,\; 2, \ldots)$
$q = \frac{1}{2}$
Decrescente ($0 < q < 1$, $a_1 > 0$)
$(5,\; -15,\; 45,\; -135, \ldots)$
$q = -3$
Alternante ($q < 0$)
$(7,\; 7,\; 7,\; 7, \ldots)$
$q = 1$
Constante ($q = 1$)
$(100,\; 10,\; 1,\; 0{,}1, \ldots)$
$q = 0{,}1$
Decrescente ($0 < q < 1$)
⚠️ Restrição importante: Em uma PG, nenhum termo pode ser zero. Se $a_n = 0$ para algum $n$, o quociente $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ seria indefinido. Além disso, $q \neq 0$ (a razão nunca pode ser zero).
Figura 1: Representação da PG $(2, 6, 18, 54, 162, \ldots)$. Cada termo é obtido multiplicando o anterior pela razão $q = 3$. Note o crescimento acelerado — os círculos aumentam de tamanho para simbolizar isso.
📖 2. Termo Geral da PG
A fórmula do termo geral permite calcular qualquer termo da PG sem listar todos os anteriores:
$$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$$
$a_n$ = $n$-ésimo termo | $a_1$ = primeiro termo | $q$ = razão | $n$ = posição
Dedução da fórmula
$a_1 = a_1 \cdot q^0 = a_1$ (0 multiplicações por $q$)
$a_2 = a_1 \cdot q^1$ (1 multiplicação por $q$)
$a_3 = a_1 \cdot q^2$ (2 multiplicações por $q$)
$a_4 = a_1 \cdot q^3$ (3 multiplicações por $q$)
$\vdots$
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ ($n-1$ multiplicações por $q$)
Propriedade dos termos equidistantes
Em uma PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos:
$$a_k \cdot a_{n-k+1} = a_1 \cdot a_n \quad \text{(para qualquer posição } k\text{)}$$
Exemplo 1: Qual o 8º termo da PG $(3, 6, 12, \ldots)$?
$a_1 = 3$, $q = 2$
$a_8 = 3 \cdot 2^{8-1} = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = \mathbf{384}$
Exemplo 2: Em qual posição está o termo 243 na PG $(1, 3, 9, 27, \ldots)$?
$a_1 = 1$, $q = 3$, $a_n = 243$
$243 = 1 \cdot 3^{n-1} \Rightarrow 3^{n-1} = 3^5 \Rightarrow n - 1 = 5 \Rightarrow \mathbf{n = 6}$
Exemplo 3: Determine $q$ da PG com $a_1 = 2$ e $a_5 = 162$.
$162 = 2 \cdot q^4 \Rightarrow q^4 = 81 = 3^4 \Rightarrow \mathbf{q = 3}$ (ou $q = -3$ se PG alternante)
💡 Fórmula generalizada: Qualquer termo pode servir como referência. Se conhecemos $a_p$, então $a_n = a_p \cdot q^{n-p}$. Muito útil quando o 1º termo não é fornecido diretamente.
📖 3. Inserção de Meios Geométricos
Inserir $m$ meios geométricos entre dois números $a$ e $b$ (ambos com mesmo sinal) significa construir uma PG com $a$ como primeiro termo, $b$ como último, e $m$ termos no meio — totalizando $m + 2$ termos.
Exemplo 1: Insira 3 meios geométricos entre 2 e 162.
Total de termos: $3 + 2 = 5$; número de intervalos: $3 + 1 = 4$
$q^4 = \dfrac{162}{2} = 81 \Rightarrow q = \sqrt[4]{81} = 3$
PG: $(2,\; 6,\; 18,\; 54,\; 162)$ ✓
Os meios geométricos são: 6, 18, 54
Exemplo 2 — Meio geométrico único: Qual o meio geométrico entre 4 e 25?
$q^2 = \dfrac{25}{4} \Rightarrow q = \dfrac{5}{2}$; meio $= 4 \cdot \dfrac{5}{2} = 10$
Verificação: $4 \cdot 25 = 100 = 10^2$ ✓ (produto dos extremos = quadrado do meio) Meio geométrico = 10
⚠️ Condição de existência: Para inserir meios geométricos reais entre $a$ e $b$, é necessário que $a$ e $b$ tenham o mesmo sinal. Se $m$ for ímpar e $a$ e $b$ tiverem sinais opostos, a razão seria imaginária.
💡 Propriedade do meio geométrico: $b$ é o meio geométrico entre $a$ e $c$ quando $b^2 = a \cdot c$. Isso é equivalente a dizer que $a$, $b$, $c$ estão em PG. Compare com a PA: $b$ é meio aritmético quando $2b = a + c$.
📖 4. Soma dos Termos de uma PG Finita
A fórmula da soma dos $n$ primeiros termos de uma PG (válida para $q \neq 1$) é:
Exemplo 2: A soma dos 5 primeiros termos de uma PG é 31 e $q = 2$. Qual é $a_1$?
$31 = \dfrac{a_1(2^5 - 1)}{2 - 1} = \dfrac{a_1 \cdot 31}{1} = 31 a_1 \Rightarrow \mathbf{a_1 = 1}$
Figura 2: Representação visual da soma $S_5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$ para a PG com $q=2$. As barras crescem exponencialmente — o último termo já equivale à soma de todos os anteriores somados.
📖 5. Soma da PG Infinita (Série Geométrica)
Quando $|q| < 1$, os termos de uma PG se tornam cada vez menores e se aproximam de zero. A soma de infinitos termos converge para um valor finito:
$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}, \quad |q| < 1$$
Quando $|q| \geq 1$, a soma diverge (não existe valor finito).
💡 Dízimas periódicas como PG infinita: Toda dízima periódica pode ser expressa como uma série geométrica infinita, o que prova que é um número racional. O método acima funciona para qualquer dízima periódica simples ou composta.
Figura 3: Convergência da soma parcial $S_n$ da PG infinita $(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \ldots)$. Os pontos se aproximam cada vez mais da linha vermelha ($S_\infty = 2$), confirmando a convergência.
📖 6. Classificação e Propriedades da PG
Tipo
Condição
Comportamento
Exemplo
Crescente
$q > 1$ e $a_1 > 0$ ou $0 < q < 1$ e $a_1 < 0$
Termos aumentam em módulo
$(1, 2, 4, 8, \ldots)$
Decrescente
$0 < q < 1$ e $a_1 > 0$ ou $q > 1$ e $a_1 < 0$
Termos diminuem em módulo
$(16, 8, 4, 2, 1, \ldots)$
Constante
$q = 1$
Todos os termos iguais
$(5, 5, 5, \ldots)$
Alternante
$q < 0$
Termos alternam de sinal
$(2, -6, 18, -54, \ldots)$
Estacionária
$q = -1$
Alternância com mesmo módulo
$(3, -3, 3, -3, \ldots)$
Propriedades importantes
P1 — Média geométrica: Em qualquer PG, cada termo (exceto os extremos) é a média geométrica dos seus vizinhos:
$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$
P2 — Produto de termos equidistantes: $a_k \cdot a_{n-k+1} = a_1 \cdot a_n$ (constante para todos os pares)
P3 — Três termos em PG: Se $(a, b, c)$ estão em PG, então $b^2 = a \cdot c$
P4 — Logaritmo de PG é PA: Se $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ estão em PG (todos positivos), então $(\log a_1, \log a_2, \ldots, \log a_n)$ estão em PA com razão $\log q$.
⚠️ Truque para três termos em PG: Quando um problema pede três números em PG, chame-os de $\left(\dfrac{a}{q},\; a,\; aq\right)$. O produto dos três fica $a^3$ (sem $q$!), simplificando os cálculos.
📖 7. PG e Função Exponencial — Conexão Importante
A fórmula do termo geral $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ é uma função exponencial em $n$:
Esta é uma função exponencial $f(n) = A \cdot q^n$, onde $A = \dfrac{a_1}{q}$ e a base é $q$.
Isso significa que os termos de uma PG, quando representados no plano $(n, a_n)$, formam uma curva exponencial — ao contrário da PA, que forma uma reta.
Figura 4: Os termos da PG $(1, 2, 4, 8, \ldots)$ formam uma curva exponencial no plano cartesiano — ao contrário da PA (reta tracejada). O crescimento acelerado é a assinatura de qualquer PG com $q > 1$.
💡 Matemática em Ação
🦠 Crescimento Populacional
Uma colônia de bactérias que dobra a cada hora segue uma PG com $q = 2$. Se começa com 100 bactérias, após 10 horas serão $100 \cdot 2^{10} = 102.400$ — uma explosão exponencial!
💰 Juros Compostos
O montante em juros compostos cresce em PG: $M_n = M_0 \cdot (1+i)^n$. A razão é $(1+i)$ — exatamente a razão de uma PG. Por isso, o dinheiro "cresce sobre si mesmo".
☢️ Decaimento Radioativo
A cada meia-vida, a quantidade de material radioativo se reduz à metade: PG com $q = \frac{1}{2}$. A soma infinita converge, mostrando que o material nunca zera completamente — apenas se aproxima de zero.
🎸 Escala Musical Temperada
Na escala cromática temperada, as frequências das 12 notas formam uma PG com razão $q = \sqrt[12]{2} \approx 1{,}0595$. A oitava acima tem exatamente o dobro da frequência: $q^{12} = 2$.
✅ 5 Questões Resolvidas (R 1 a 5)
R 1: Identificar PG e calcular razão
Enunciado: Verifique se $(3, 6, 12, 24, 48)$ é uma PG. Em caso afirmativo, determine a razão, o 8º termo e a soma dos 5 termos.
Resolução:
Quocientes: $\frac{6}{3}=2$, $\frac{12}{6}=2$, $\frac{24}{12}=2$, $\frac{48}{24}=2$ → todos iguais.
É uma PG com $a_1 = 3$ e $q = 2$. ✓
Enunciado: Uma bola é lançada a 4 m de altura. A cada quique, ela sobe $\frac{3}{4}$ da altura anterior. Qual a distância total percorrida pela bola (incluindo ida e vinda de todos os quiques)?
Resolução:
Queda inicial: 4 m
Após o 1º quique: sobe 3 m e desce 3 m → $2 \times 3 = 6$ m
Após o 2º quique: $2 \times \frac{9}{4}$ m; etc.
Total (exceto queda inicial): PG com $a_1 = 6$ m e $q = \frac{3}{4}$
$S_\infty = \dfrac{6}{1 - 3/4} = \dfrac{6}{1/4} = 24$ m Distância total $= 4 + 24 = \mathbf{28}$ metros.
P 10: Quatro termos em PG
Enunciado: Quatro números positivos estão em PG. O produto do 1º pelo 4º é 27 e o produto do 2º pelo 3º também é 27. A soma dos quatro é $\frac{40}{3}$. Determine a PG.
Resolução:
Chame os termos de $(a, aq, aq^2, aq^3)$.
Produto $a_1 \cdot a_4 = a \cdot aq^3 = a^2q^3 = 27$ ...(I)
Produto $a_2 \cdot a_3 = aq \cdot aq^2 = a^2q^3 = 27$ ✓ (sempre igual — propriedade dos equidistantes)
Enunciado: Uma folha de papel, ao ser dobrada ao meio, tem sua espessura duplicada. Uma folha padrão tem 0,1 mm de espessura. Após 10 dobras, a espessura será de, aproximadamente (use $2^{10} = 1024$):
A) 1,0 mm
B) 10,24 cm
C) 102,4 mm
D) 1,024 m
E) 10,24 m
Resposta: C
PG com $a_1 = 0{,}1$ mm e $q = 2$
Após 10 dobras: $a_{11} = 0{,}1 \cdot 2^{10} = 0{,}1 \cdot 1024 = \mathbf{102{,}4}$ mm
T 13: (UNICAMP) Soma finita de PG
Enunciado: A soma dos termos de uma PG de 5 termos com $a_1 = 1$ e $q = 3$ é: