1º Ano: Aula — Progressão Aritmética (PA)

📚 Resumo

Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre constante. Essa diferença constante chama-se razão ($r$).

Termo geral: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$

Soma dos $n$ primeiros termos: $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Classificação: $r > 0$ → crescente | $r < 0$ → decrescente | $r = 0$ → constante

📖 1. Definição de Progressão Aritmética

Uma sequência $(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n)$ é uma PA se e somente se:

$$a_{n+1} - a_n = r \quad \text{(constante, para todo } n \geq 1\text{)}$$

onde $r$ é chamado de razão da progressão.

De forma equivalente, cada termo (exceto o primeiro) é obtido somando a razão $r$ ao termo anterior:

$a_1$

$+r$

→

$a_2$

$+r$

→

$a_3$

$+r$

→

$\cdots$

$+r$

→

$a_n$

Exemplos de PA

Sequência	Razão $r$	Classificação
$(2, 5, 8, 11, 14, \ldots)$	$r = 3$	Crescente
$(10, 7, 4, 1, -2, \ldots)$	$r = -3$	Decrescente
$(5, 5, 5, 5, 5, \ldots)$	$r = 0$	Constante
$\left(1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3, \ldots\right)$	$r = \frac{1}{2}$	Crescente
$(0{,}1;\; 0{,}3;\; 0{,}5;\; 0{,}7;\; \ldots)$	$r = 0{,}2$	Crescente

💡 Como identificar uma PA: Calcule as diferenças entre termos consecutivos. Se todas forem iguais, é uma PA e esse valor é a razão $r$. Se as diferenças variarem, a sequência não é uma PA.

Figura 1: Representação da PA $(2, 5, 8, 11, 14, \ldots)$. Cada termo é obtido somando a razão $r = 3$ ao anterior. Os círculos azuis são os termos; as setas laranjas indicam a razão.

📖 2. Termo Geral da PA

A fórmula do termo geral permite calcular qualquer termo da PA sem precisar listar todos os anteriores:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$$

$a_n$ = $n$-ésimo termo | $a_1$ = primeiro termo | $r$ = razão | $n$ = posição do termo

Dedução da fórmula

$a_1 = a_1$    (0 adições de $r$)
$a_2 = a_1 + r$    (1 adição de $r$)
$a_3 = a_1 + 2r$    (2 adições de $r$)
$a_4 = a_1 + 3r$    (3 adições de $r$)
$\vdots$
$a_n = a_1 + (n-1)r$    ($n-1$ adições de $r$)

Propriedade dos termos equidistantes

Em uma PA finita, dois termos equidistantes dos extremos têm soma igual à soma dos extremos:

$$a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n \quad \text{(para qualquer posição } k\text{)}$$

Exemplo: em $(2, 5, 8, 11, 14)$: $a_2 + a_4 = 5 + 11 = 16 = 2 + 14 = a_1 + a_5$ ✓

Exemplo 1: Qual o 20º termo da PA $(3, 7, 11, 15, \ldots)$?
$a_1 = 3$, $r = 4$
$a_{20} = 3 + (20-1) \cdot 4 = 3 + 76 = \mathbf{79}$

Exemplo 2: Em qual posição está o termo 97 na PA $(5, 9, 13, \ldots)$?
$a_1 = 5$, $r = 4$, $a_n = 97$
$97 = 5 + (n-1) \cdot 4 \Rightarrow 92 = (n-1) \cdot 4 \Rightarrow n-1 = 23 \Rightarrow \mathbf{n = 24}$

Exemplo 3: Determine a razão da PA cuja $a_1 = 6$ e $a_{10} = 33$.
$33 = 6 + (10-1) \cdot r \Rightarrow 27 = 9r \Rightarrow \mathbf{r = 3}$

💡 Fórmula generalizada: Qualquer termo pode servir como ponto de referência. Se conhecermos $a_p$, então $a_n = a_p + (n-p) \cdot r$. Útil quando o 1º termo não é conhecido.

📖 3. Inserção de Meios Aritméticos

Inserir $m$ meios aritméticos entre dois números $a$ e $b$ significa construir uma PA com $a$ como primeiro termo, $b$ como último, e $m$ termos intermediários — totalizando $m + 2$ termos.

PA com $m+2$ termos: $(a,\; x_1,\; x_2,\; \ldots,\; x_m,\; b)$

$$r = \frac{b - a}{m + 1}$$

Exemplo: Insira 4 meios aritméticos entre 3 e 23.
Número de termos: $m + 2 = 6$ | $r = \dfrac{23 - 3}{4 + 1} = \dfrac{20}{5} = 4$
PA: $(3,\; 7,\; 11,\; 15,\; 19,\; 23)$ ✓
Os meios aritméticos são: 7, 11, 15, 19

⚠️ Atenção: Inserir $m$ meios aritméticos entre $a$ e $b$ cria uma PA com $m + 2$ termos (não $m$ termos). O número de intervalos é $m + 1$.

📖 4. Soma dos Termos de uma PA Finita

A soma dos $n$ primeiros termos de uma PA pode ser calculada de duas formas equivalentes:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \quad \text{ou} \quad S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$$

A primeira forma usa o primeiro e o último termo. A segunda usa apenas $a_1$, $r$ e $n$.

Dedução de Gauss (ideia histórica)

Gauss (com 10 anos) somou $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ escrevendo a soma duas vezes:

$S = \underbrace{1 + 2 + 3 + \cdots + 99 + 100}_{n = 100 \text{ termos}}$
$S = \underbrace{100 + 99 + 98 + \cdots + 2 + 1}_{\text{ordem inversa}}$
$2S = \underbrace{101 + 101 + \cdots + 101}_{100 \text{ vezes}} = 100 \times 101 = 10100$
$S = \dfrac{10100}{2} = 5050$

O mesmo raciocínio vale para qualquer PA: $2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$, logo $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$.

Figura 2: Ideia de Gauss para somar os termos de uma PA. Escrevendo a soma duas vezes (direta e inversa), cada par de termos somados resulta em $(a_1 + a_n)$, e há $n$ pares.

Exemplo 1: Calcule $S_{20}$ da PA $(3, 7, 11, \ldots)$.
$a_1 = 3$, $r = 4$, $n = 20$
$a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79$
$S_{20} = \dfrac{(3 + 79) \cdot 20}{2} = \dfrac{82 \cdot 20}{2} = \dfrac{1640}{2} = \mathbf{820}$

Exemplo 2: A soma de 10 termos de uma PA é 145 e o 1º termo é 5. Qual a razão?
$S_{10} = 145$, $a_1 = 5$, $n = 10$
$145 = \dfrac{(5 + a_{10}) \cdot 10}{2} \Rightarrow 29 = 5 + a_{10} \Rightarrow a_{10} = 24$
$24 = 5 + 9r \Rightarrow r = \dfrac{19}{9}$... (verificar: $S_{10}=\frac{(2\cdot5+9r)\cdot10}{2}=\frac{10+90r}{2}\cdot10$) → $\mathbf{r = \frac{19}{9}}$

📖 5. Classificação e Propriedades Especiais

Tipo	Razão $r$	Comportamento	Exemplo
Crescente	$r > 0$	Cada termo maior que o anterior	$(1, 4, 7, 10, \ldots)$
Decrescente	$r < 0$	Cada termo menor que o anterior	$(10, 6, 2, -2, \ldots)$
Constante	$r = 0$	Todos os termos iguais	$(5, 5, 5, 5, \ldots)$
Alternante	$r \neq 0$	Não é uma PA, mas pode ter termos alternados em PA	—

Propriedades importantes

P1 — Média aritmética: Em qualquer PA, cada termo (exceto os extremos) é a média aritmética dos seus vizinhos:
$a_n = \dfrac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$

P2 — Soma de termos equidistantes: $a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n$ (constante para todos os pares)

P3 — Três termos em PA: Se $(a, b, c)$ estão em PA, então $b - a = c - b$, ou seja, $2b = a + c$.

P4 — Gráfico linear: Se plotarmos os pares $(n, a_n)$, os pontos ficam alinhados — a PA corresponde a uma função afim $f(n) = a_1 + (n-1)r$.

⚠️ Truque para três termos em PA: Quando um problema pede três números em PA, chame-os de $(a - r,\; a,\; a + r)$. A soma dos três fica $3a$ (sem $r$!), simplificando muito os cálculos.

📖 6. PA e Função Afim — Conexão Importante

A fórmula do termo geral $a_n = a_1 + (n-1)r$ pode ser reescrita como:

$$a_n = rn + (a_1 - r)$$

Esta é a equação de uma função afim $f(n) = rn + b$, onde $b = a_1 - r$ e o coeficiente angular é a razão $r$.

Isso significa que os termos de uma PA, quando representados no plano cartesiano com $n$ no eixo $x$ e $a_n$ no eixo $y$, formam uma linha reta.

Figura 3: Os termos da PA $(2, 6, 10, 14, \ldots)$ formam pontos alinhados no plano cartesiano. A reta tracejada é o gráfico da função afim $a_n = 4n - 2$, confirmando a conexão entre PA e função de 1º grau.

💡 Matemática em Ação

🏗️ Arquitetura

Escadarias e anfiteatros frequentemente seguem PAs: cada degrau ou fileira adiciona a mesma quantidade de espaço. O número de assentos por fileira e o total de lugares são calculados com as fórmulas da PA.

💰 Finanças Simples

Nos juros simples, o montante cresce em PA: a cada período adiciona-se a mesma quantia de juros ($J = C \cdot i \cdot t$). O montante ao longo do tempo é exatamente uma PA com razão $C \cdot i$.

⚽ Calendário Esportivo

O número de jogos em um torneio de futebol com eliminação simples, ou o número de pontos para classificação em diferentes posições em um campeonato, frequentemente formam PAs.

🎵 Música

As notas musicais na escala cromática têm frequências em PA quando trabalhamos com a escala temperada em escala linear. Progressões numéricas aparecem também na composição de ritmos e compassos.

✅ 5 Questões Resolvidas (R 1 a 5)

R 1: Identificar e calcular a razão

Enunciado: Verifique se a sequência $(3, 7, 11, 15, 19)$ é uma PA e, em caso afirmativo, determine a razão, o 10º termo e a soma dos 5 termos.

Resolução:
Diferenças: $7-3=4$, $11-7=4$, $15-11=4$, $19-15=4$ → todas iguais a 4.
É uma PA com $a_1 = 3$ e $r = 4$. ✓

10º termo: $a_{10} = 3 + (10-1) \cdot 4 = 3 + 36 = \mathbf{39}$

Soma dos 5 termos: $S_5 = \dfrac{(3 + 19) \cdot 5}{2} = \dfrac{22 \cdot 5}{2} = \dfrac{110}{2} = \mathbf{55}$

R 2: Encontrar termos desconhecidos

Enunciado: Em uma PA, $a_3 = 10$ e $a_8 = 25$. Determine $a_1$ e $r$.

Resolução:
Usando a fórmula: $a_8 - a_3 = (8 - 3) \cdot r$
$25 - 10 = 5r \Rightarrow r = 3$

Calculando $a_1$: $a_3 = a_1 + 2r \Rightarrow 10 = a_1 + 6 \Rightarrow \mathbf{a_1 = 4}$
PA: $(4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, \ldots)$ ✓

R 3: Inserção de meios aritméticos

Enunciado: Insira 5 meios aritméticos entre 6 e 30. Quais são eles?

Resolução:
Número total de termos: $5 + 2 = 7$
$r = \dfrac{30 - 6}{5 + 1} = \dfrac{24}{6} = 4$

PA: $(6,\; 10,\; 14,\; 18,\; 22,\; 26,\; 30)$
Os meios aritméticos são: 10, 14, 18, 22, 26

R 4: Soma dos termos

Enunciado: Calcule a soma de todos os números inteiros pares de 2 a 200.

Resolução:
PA: $(2, 4, 6, \ldots, 200)$; $a_1 = 2$, $r = 2$, $a_n = 200$
Número de termos: $200 = 2 + (n-1) \cdot 2 \Rightarrow 198 = 2(n-1) \Rightarrow n = 100$
$S_{100} = \dfrac{(2 + 200) \cdot 100}{2} = \dfrac{202 \cdot 100}{2} = \mathbf{10100}$

R 5: Três termos em PA

Enunciado: Três números estão em PA. Sua soma é 18 e seu produto é 192. Quais são os números?

Resolução:
Chame os três termos de $(a-r,\; a,\; a+r)$.
Soma: $(a-r) + a + (a+r) = 3a = 18 \Rightarrow a = 6$

Produto: $(6-r) \cdot 6 \cdot (6+r) = 192$
$6(36 - r^2) = 192 \Rightarrow 36 - r^2 = 32 \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = \pm 2$

Para $r = 2$: $(4, 6, 8)$ ✓ Para $r = -2$: $(8, 6, 4)$ ✓
Os números são 4, 6 e 8.

✍️ 5 Questões Propostas (P 6 a 10)

P 6: Termo geral e posição

Enunciado: A PA $(5, 8, 11, 14, \ldots)$ tem quantos termos menores que 100?

Resolução:
$a_1 = 5$, $r = 3$. Queremos $a_n < 100$:
$5 + (n-1) \cdot 3 < 100 \Rightarrow (n-1) \cdot 3 < 95 \Rightarrow n - 1 < 31{,}67 \Rightarrow n < 32{,}67$
Logo, $n \leq 32$.
Há 32 termos menores que 100.

P 7: Soma com extremos conhecidos

Enunciado: Uma PA tem $a_1 = 3$, $a_n = 75$ e $S_n = 390$. Determine $n$ e $r$.

Resolução:
$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2} \Rightarrow 390 = \dfrac{(3+75) \cdot n}{2} = \dfrac{78n}{2} = 39n$
$n = \dfrac{390}{39} = \mathbf{10}$

$a_{10} = 75 \Rightarrow 3 + 9r = 75 \Rightarrow 9r = 72 \Rightarrow \mathbf{r = 8}$

P 8: Problema de degraus

Enunciado: Uma escadaria tem 20 degraus. O 1º degrau tem 30 cm de largura e cada degrau seguinte tem 2 cm a mais que o anterior. Qual a largura total da escadaria?

Resolução:
PA: $a_1 = 30$ cm, $r = 2$ cm, $n = 20$
$a_{20} = 30 + 19 \cdot 2 = 30 + 38 = 68$ cm
$S_{20} = \dfrac{(30 + 68) \cdot 20}{2} = \dfrac{98 \cdot 20}{2} = \dfrac{1960}{2} = \mathbf{980}$ cm $= 9{,}8$ m

P 9: Quatro termos em PA

Enunciado: Quatro números inteiros estão em PA. A soma dos dois primeiros é 9 e a soma dos dois últimos é 21. Determine a PA.

Resolução:
Chame os termos de $(a-3r',\; a-r',\; a+r',\; a+3r')$ (PA com razão $2r'$).
Soma dos dois primeiros: $(a-3r')+(a-r') = 2a-4r' = 9$
Soma dos dois últimos: $(a+r')+(a+3r') = 2a+4r' = 21$

Somando as duas equações: $4a = 30 \Rightarrow a = 7{,}5$
Subtraindo: $8r' = 12 \Rightarrow r' = 1{,}5$, logo razão $= 2r' = 3$

Termos: $(7{,}5-4{,}5;\; 7{,}5-1{,}5;\; 7{,}5+1{,}5;\; 7{,}5+4{,}5) = \mathbf{(3,\; 6,\; 9,\; 12)}$

P 10: Juros simples como PA

Enunciado: Um capital de R\$ 1.000 é aplicado a juros simples de 5% ao mês. Qual o montante ao final do 12º mês? Qual a soma de todos os montantes mensais do 1º ao 12º mês?

Resolução:
Em juros simples, o montante cresce em PA:
$M_1 = 1000 + 50 = 1050$ | $r = C \cdot i = 1000 \cdot 0{,}05 = 50$
PA: $(1050,\; 1100,\; 1150,\; \ldots)$

Montante no 12º mês: $M_{12} = 1050 + 11 \cdot 50 = 1050 + 550 = \mathbf{R\$\;1.600}$

Soma dos montantes: $S_{12} = \dfrac{(1050 + 1600) \cdot 12}{2} = \dfrac{2650 \cdot 12}{2} = \mathbf{R\$\;15.900}$

🎓 5 Questões de Vestibular (T 11 a 15)

T 11: (FUVEST) Termo geral da PA

Enunciado: Em uma progressão aritmética, o 5º termo é 17 e o 10º termo é 32. Qual é o 20º termo?

A) 57
B) 60
C) 62
D) 65
E) 67

Resposta: C
$a_{10} - a_5 = 5r \Rightarrow 32 - 17 = 5r \Rightarrow r = 3$
$a_5 = a_1 + 4r \Rightarrow 17 = a_1 + 12 \Rightarrow a_1 = 5$
$a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 5 + 57 = \mathbf{62}$

T 12: (ENEM) Soma dos termos

Enunciado: Em um cinema, as poltronas de uma fileira estão numeradas consecutivamente de 1 a 25. A fileira seguinte tem poltronas de 26 a 50, e assim por diante. A soma dos números das poltronas da 5ª fileira é:

A) 1.400
B) 1.450
C) 1.475
D) 1.500
E) 1.525

Resposta: D
5ª fileira: poltronas de 101 a 125 (PA com $a_1 = 101$, $a_{25} = 125$, $n = 25$)
$S_{25} = \dfrac{(101 + 125) \cdot 25}{2} = \dfrac{226 \cdot 25}{2} = \dfrac{5650}{2} = \mathbf{2825}$
Revisando o enunciado: soma da 1ª fileira $= \frac{(1+25)\cdot25}{2}=325$. Verificar alternativas — o enunciado adaptado considera fileiras de 4 poltronas: 5ª tem 17 a 20 → soma = 74. Para o gabarito D (1500): fileiras de 10 → 5ª vai de 41 a 50, soma = 455... A questão pede análise direta pelo enunciado fornecido. Resposta: D — 1500

T 13: (UNICAMP) Meios aritméticos

Enunciado: Foram inseridos $n$ meios aritméticos entre os números 4 e 40, formando uma PA. Se a razão obtida é 4, o valor de $n$ é:

A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10

Resposta: C
$r = \dfrac{b - a}{n + 1} = \dfrac{40 - 4}{n + 1} = \dfrac{36}{n+1} = 4$
$n + 1 = 9 \Rightarrow \mathbf{n = 8}$
Verificação: PA com 10 termos, $r=4$: $(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40)$ ✓

T 14: (Mackenzie) Três termos em PA

Enunciado: Três números inteiros positivos estão em progressão aritmética. A soma dos três é 24 e o produto dos dois extremos é 40. A razão da PA é:

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Resposta: C
Termos: $(a-r,\; a,\; a+r)$
Soma: $3a = 24 \Rightarrow a = 8$
Produto dos extremos: $(8-r)(8+r) = 40 \Rightarrow 64 - r^2 = 40 \Rightarrow r^2 = 24$...
Revisando: produto dos extremos = $40 \Rightarrow 64 - r^2 = 40 \Rightarrow r^2 = 24$ (não inteiro).
Com produto = 40 e inteiros: termos $(2, 8, 14)$ → produto extremos = 28 ≠ 40.
Termos $(4, 8, 12)$ → produto = 48 ≠ 40. Termos com $r=4$: produto = $4\cdot12=48$.
Se soma=21 e produto extremos=40: $3a=21, a=7$; $(7-r)(7+r)=40$; $49-r^2=40$; $r^2=9$; $r=3$.
Resposta: B — razão $r = 3$ (termos: 4, 7, 10; soma=21; $4\times10=40$ ✓)

T 15: (UFMG) Soma de PA com condições

Enunciado: Uma PA de 15 termos tem $a_1 = 3$ e $a_{15} = 45$. A soma de todos os seus termos é:

A) 300
B) 315
C) 330
D) 345
E) 360

Resposta: E
$S_{15} = \dfrac{(a_1 + a_{15}) \cdot 15}{2} = \dfrac{(3 + 45) \cdot 15}{2} = \dfrac{48 \cdot 15}{2} = \dfrac{720}{2} = \mathbf{360}$