3º Ano | Aula: Função Logarítmica — Gráfico, Propriedades e Aplicações
📚 Resumo
A função logarítmica é toda função $f:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ da forma $f(x) = \log_a x$, com $a > 0$ e $a \neq 1$. Ela é a inversa da função exponencial $g(x) = a^x$ — seus gráficos são simétricos em relação à reta $y = x$.
Definição: $f(x) = \log_a x \quad (a > 0,\; a \neq 1,\; x > 0)$
Ponto fixo: $f(1) = 0$ para qualquer base |
Assíntota vertical: $x = 0$ (eixo $y$)
📖 1. Definição e Condições de Existência
$$f(x) = \log_a x, \quad a > 0,\; a \neq 1,\; x > 0$$
Domínio: $(0, +\infty)$ Imagem: $\mathbb{R}$ Inversa de: $g(x) = a^x$
A função logarítmica é a operação inversa da exponencial. Se $f(x) = a^x$ leva um expoente a uma potência, a função logarítmica faz o caminho inverso: dado o valor $x$ (a potência), encontra o expoente correspondente.
Relação fundamental — funções inversas:
$f(x) = a^x \;\Longleftrightarrow\; f^{-1}(x) = \log_a x$
Isso significa que os gráficos de $y = a^x$ e $y = \log_a x$ são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes ($y = x$).
Os pontos $(0, 1)$ e $(1, 0)$ são imagens um do outro por essa simetria.
Figura 1: Simetria entre a função exponencial $y=2^x$ (tracejada) e a função logarítmica $y=\log_2 x$ (sólida) em relação à reta $y=x$. O ponto $(0,1)$ da exponencial corresponde ao $(1,0)$ da logarítmica.
📖 2. Gráfico: Caso $a > 1$ (Função Crescente)
Quando a base $a > 1$, a função $f(x) = \log_a x$ é estritamente crescente: quanto maior $x$, maior $f(x)$. A curva sobe da assíntota vertical, cruza o eixo $x$ em $x = 1$ e cresce indefinidamente — porém cada vez mais devagar.
Comportamento para $a > 1$:
• $f(x) > 0$ quando $x > 1$ (logaritmo positivo)
• $f(x) = 0$ quando $x = 1$ (zero da função)
• $f(x) < 0$ quando $0 < x < 1$ (logaritmo negativo)
• Quando $x \to 0^+$: $f(x) \to -\infty$ (assíntota vertical $x = 0$)
• Quando $x \to +\infty$: $f(x) \to +\infty$ (crescimento, mas lento)
Figura 2: Funções $\log_2 x$ (azul) e $\log_3 x$ (laranja) — ambas crescentes ($a > 1$). Note que base maior → curva mais "achatada" (cresce mais devagar). Região azul: $f(x) > 0$. Região laranja: $f(x) < 0$.
💡 Comparando bases maiores que 1: quanto maior a base $a$, mais lentamente a função cresce. Assim, $\log_2 x > \log_3 x > \log_{10} x$ para todo $x > 1$. Para $0 < x < 1$, a ordem inverte: $\log_2 x < \log_3 x < \log_{10} x$.
📖 3. Gráfico: Caso $0 < a < 1$ (Função Decrescente)
Quando $0 < a < 1$, a função $f(x) = \log_a x$ é estritamente decrescente: quanto maior $x$, menor $f(x)$. A curva desce da assíntota vertical, cruza o eixo $x$ em $x = 1$ e decresce indefinidamente.
Comportamento para $0 < a < 1$:
• $f(x) > 0$ quando $0 < x < 1$ (logaritmo positivo — invertido!)
• $f(x) = 0$ quando $x = 1$ (zero da função — igual ao caso anterior)
• $f(x) < 0$ quando $x > 1$ (logaritmo negativo — invertido!)
• Quando $x \to 0^+$: $f(x) \to +\infty$ (assíntota vertical)
• Quando $x \to +\infty$: $f(x) \to -\infty$
Figura 3: Função $\log_{1/2} x$ com $0 < a < 1$ — decrescente. Observe que $f(x) > 0$ para $0 < x < 1$ (região azul) e $f(x) < 0$ para $x > 1$ (região laranja) — o oposto do caso $a > 1$.
⚠️ Cuidado com a inversão de sinal! Na base $0 < a < 1$, os sinais de $f(x)$ são invertidos em relação ao caso $a > 1$. Esse detalhe é fundamental para resolver inequações logarítmicas: a desigualdade se inverte ao resolver $\log_a f(x) > k$ com $0 < a < 1$.
📖 4. Tabela Comparativa: $a > 1$ vs $0 < a < 1$
Propriedade
$a > 1$ (ex: $\log_2 x$)
$0 < a < 1$ (ex: $\log_{1/2} x$)
Monotonia
📈 Crescente
📉 Decrescente
Domínio
$(0, +\infty)$
$(0, +\infty)$
Imagem
$\mathbb{R}$ (todos os reais)
$\mathbb{R}$ (todos os reais)
$f(1) =$
$0$ (zero da função)
$0$ (zero da função)
Assíntota
$x = 0$ (vertical)
$x = 0$ (vertical)
$f(x) > 0$ quando
$x > 1$
$0 < x < 1$
$f(x) < 0$ quando
$0 < x < 1$
$x > 1$
$x \to 0^+$
$f(x) \to -\infty$
$f(x) \to +\infty$
$x \to +\infty$
$f(x) \to +\infty$
$f(x) \to -\infty$
Função inversa
$g(x) = a^x$ (crescente)
$g(x) = a^x$ (decrescente)
📖 5. Transformações do Gráfico
A partir da curva básica $f(x) = \log_a x$, podemos gerar novas funções logarítmicas através de translações, reflexões e escalonamentos.
Função
Transformação
Efeito na assíntota
Ponto fixo
$\log_a x + k$
Translação vertical $+k$
Permanece $x = 0$
$(1,\; k)$
$\log_a(x - h)$
Translação horizontal $+h$ (para direita)
$x = h$
$(1+h,\; 0)$
$-\log_a x$
Reflexão no eixo $x$ (curva espelha verticalmente)
Permanece $x = 0$
$(1,\; 0)$
$\log_a(-x)$
Reflexão no eixo $y$ (domínio vira $(-\infty, 0)$)
$x = 0$
$(-1,\; 0)$
$k \cdot \log_a x$
Escalonamento vertical por fator $k$
Permanece $x = 0$
$(1,\; 0)$
$\log_2 x + 2$: sobe 2 unidades. Ponto fixo vai de $(1,0)$ para $(1,2)$.$\log_2(x-2)$: desloca 2 para direita. Assíntota vai para $x=2$; zero vai para $x=3$.$-\log_2 x$: reflexão no eixo $x$ — a curva crescente vira decrescente, mantendo o mesmo zero.$\log_2(-x)$: reflexão no eixo $y$ — domínio passa a ser $(-\infty, 0)$. Zero em $x = -1$.
📖 6. Domínio, Imagem e Zero da Função Logarítmica
Como determinar o domínio
O argumento da função logarítmica deve ser estritamente positivo. Para $f(x) = \log_a g(x)$, o domínio é o conjunto dos valores de $x$ tais que $g(x) > 0$.
O zero de $f(x) = \log_a g(x)$ é o valor de $x$ tal que $f(x) = 0$, ou seja, $g(x) = a^0 = 1$.
Exemplo: Zero de $f(x) = \log_2(x + 4)$
$\log_2(x+4) = 0 \Rightarrow x + 4 = 1 \Rightarrow x = -3$
Verificação: $x = -3 > -4$ (no domínio) ✓ Zero: $x = -3$
Imagem
A imagem de $f(x) = \log_a x$ é sempre $\mathbb{R}$ — o logaritmo pode assumir qualquer valor real. Para funções com transformações, como $f(x) = \log_a x + k$, a imagem permanece $\mathbb{R}$. Já para $f(x) = |\log_a x|$, a imagem seria $[0, +\infty)$.
📖 7. Estudo do Sinal e Inequações Logarítmicas
O sinal de $f(x) = \log_a x$ depende de onde $x$ está em relação a 1, e inverte conforme a base:
Sinal de $\log_a x$ para $a > 1$: negativo em $(0,1)$, nulo em $x=1$, positivo em $(1,+\infty)$.Sinal de $\log_a x$ para $0 < a < 1$: positivo em $(0,1)$, nulo em $x=1$, negativo em $(1,+\infty)$ — invertido!
$M = \log\dfrac{A}{A_0}$ — a magnitude é uma função logarítmica da amplitude da onda. Seu gráfico crescente e cada vez mais "achatado" explica por que a diferença entre magnitude 6 e 7 representa 10× mais energia, não apenas mais um pouco.
🔊 Decibéis
$\beta(I) = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ é uma função logarítmica da intensidade sonora $I$. O domínio é $I > 0$, a função é crescente e nunca atinge um máximo — por isso há sons cada vez mais altos, mas nossa percepção de "dobrar o volume" exige 10× mais intensidade.
🧪 pH — Acidez
$\text{pH}(c) = -\log c$ é uma função logarítmica da concentração de H⁺. O sinal negativo e a base 10 fazem com que a curva seja decrescente: quanto maior a concentração de H⁺, menor o pH — exatamente o comportamento de $-\log x$ para base maior que 1.
📈 Análise de Algoritmos
A busca binária tem complexidade $O(\log_2 n)$: dobrar o tamanho dos dados adiciona apenas 1 operação. O gráfico de $\log_2 n$ — crescente porém cada vez mais lento — explica visualmente por que algoritmos logarítmicos são tão eficientes.
✅ 5 Questões Resolvidas (R 1 a 5)
R 1: Domínio da função logarítmica
Enunciado: Determine o domínio de cada função:
(a) $f(x) = \log_2(3x - 6)$ (b) $g(x) = \log(x^2 - 4x + 3)$ (c) $h(x) = \log_3(1 - x^2)$
Resolução:
(a) $3x - 6 > 0 \Rightarrow x > 2$ → Dom $= (2, +\infty)$
(b) $x^2 - 4x + 3 > 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) > 0$
Raízes: $x_1 = 1$ e $x_2 = 3$; parábola com $a > 0$ → positiva fora das raízes Dom $= (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$
(c) $1 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 1 \Rightarrow -1 < x < 1$ Dom $= (-1, 1)$
R 2: Zero, sinal e monotonia
Enunciado: Para $f(x) = \log_{1/3}(x + 4)$, determine: (a) domínio, (b) zero, (c) valores de $x$ para os quais $f(x) > 0$.
Resolução:
(a) $x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4$ → Dom $= (-4, +\infty)$
(b) Zero: $\log_{1/3}(x+4) = 0 \Rightarrow x + 4 = 1 \Rightarrow x = -3$ → Zero em $x = -3$
(c) Base $\frac{1}{3} < 1$: $f(x) > 0$ quando $0 < x+4 < 1$, ou seja, $-4 < x < -3$ $f(x) > 0$ para $x \in (-4, -3)$
R 3: Transformação do gráfico
Enunciado: Descreva as transformações e identifique domínio, assíntota e zero de $f(x) = \log_2(x+3) - 1$.
Resolução:
Partindo de $\log_2 x$:
• $x + 3$: translação horizontal de $-3$ (3 unidades para a esquerda)
• $- 1$: translação vertical de $-1$ (1 unidade para baixo)
Assíntota: $x = -3$ (a assíntota original $x = 0$ desloca $-3$) Domínio: $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$ → $(-3, +\infty)$ Zero: $\log_2(x+3) = 1 \Rightarrow x + 3 = 2 \Rightarrow x = -1$
R 4: Inequação logarítmica
Enunciado: Resolva $\log_2(x - 1) \geq 3$.
Resolução:
Existência: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
Base $2 > 1$, mantém a desigualdade:
$x - 1 \geq 2^3 = 8 \Rightarrow x \geq 9$
Interseção: $x > 1$ e $x \geq 9$ → $S = [9, +\infty)$
R 5: Identificar a função pelo gráfico
Enunciado: Uma função logarítmica passa pelo ponto $(4, 3)$ e tem assíntota vertical em $x = 0$. Sabendo que tem a forma $f(x) = k \cdot \log_2 x$, determine $k$.
Resolução:
Substituindo o ponto $(4, 3)$:
$3 = k \cdot \log_2 4 = k \cdot 2 \Rightarrow k = \dfrac{3}{2}$ $f(x) = \dfrac{3}{2}\log_2 x$
✍️ 5 Questões Propostas (P 6 a 10)
P 6: Domínio com expressão quadrática
Enunciado: Determine o domínio de $f(x) = \log_5(x^2 + 2x - 8)$.
Resolução:
$x^2 + 2x - 8 > 0 \Rightarrow (x+4)(x-2) > 0$
Raízes: $x = -4$ e $x = 2$; parábola com $a > 0$ → positiva fora das raízes. Dom $= (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$
P 7: Sinal e zero — base menor que 1
Enunciado: Para $f(x) = \log_{1/4}(2x - 6)$, determine: (a) domínio, (b) zero, (c) para quais $x$ temos $f(x) < 0$.
Resolução:
(a) $2x - 6 > 0 \Rightarrow x > 3$ → Dom $= (3, +\infty)$
(b) $2x - 6 = 1 \Rightarrow x = 3{,}5$ → Zero: $x = 3{,}5$
(c) Base $\frac{1}{4} < 1$: $f(x) < 0$ quando $2x - 6 > 1$, ou seja, $x > 3{,}5$ $f(x) < 0$ para $x \in (3{,}5,\; +\infty)$
P 8: Comparação de funções logarítmicas
Enunciado: Para $x = 8$, ordene do menor para o maior: $\log_2 8$, $\log_3 8$, $\log_4 8$, $\log_8 8$.
Resolução:
$\log_2 8 = 3$ | $\log_3 8 = \frac{\log 8}{\log 3} \approx \frac{0{,}903}{0{,}477} \approx 1{,}89$
$\log_4 8 = \frac{3}{2} = 1{,}5$ | $\log_8 8 = 1$
Ordem crescente: $\log_8 8 < \log_4 8 < \log_3 8 < \log_2 8$
($1 < 1{,}5 < 1{,}89 < 3$)
Isso confirma: quanto maior a base, menor o valor do logaritmo de um mesmo número $> 1$.
Interseção final ($x > 1$ e $-1 < x < 3$): $S = (1,\; 3)$
P 10: Construção do gráfico — análise completa
Enunciado: Para $f(x) = -\log_2(x - 2) + 3$, determine: domínio, assíntota vertical, zero, monotonia e esboce o gráfico indicando os pontos $(3, f(3))$ e $(6, f(6))$.
Resolução: Domínio: $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$ → Dom $= (2, +\infty)$ Assíntota vertical: $x = 2$ Zero: $-\log_2(x-2) + 3 = 0 \Rightarrow \log_2(x-2) = 3 \Rightarrow x - 2 = 8 \Rightarrow x = 10$ Monotonia: O sinal negativo inverte a função crescente $\log_2$ → $f$ é decrescente Pontos: $f(3) = -\log_2 1 + 3 = 0 + 3 = 3$ → ponto $(3, 3)$
$f(6) = -\log_2 4 + 3 = -2 + 3 = 1$ → ponto $(6, 1)$
🎓 5 Questões de Vestibular (T 11 a 15)
T 11: (FUVEST) Domínio e zero
Enunciado: O domínio da função $f(x) = \log(x^2 - 5x + 6)$ é:
A) $(2, 3)$ B) $(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$ C) $(2, +\infty)$ D) $\mathbb{R}$ E) $(-\infty, 3)$
Resposta: B
$x^2 - 5x + 6 > 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) > 0$
Parábola com $a > 0$: positiva fora das raízes $x = 2$ e $x = 3$. Dom $= (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$
T 12: (ENEM) Interpretação gráfica
Enunciado: O gráfico de uma função logarítmica passa por $(1, 0)$ e $(8, 3)$. Qual é a expressão da função?
A) $\log_2 x$ B) $\log_4 x$ C) $\log_8 x$ D) $\log_3 x$ E) $3\log x$
Resposta: A
O ponto $(1, 0)$ é satisfeito por qualquer logarítmica. Usando $(8, 3)$:
$\log_a 8 = 3 \Rightarrow a^3 = 8 \Rightarrow a = 2$ $f(x) = \log_2 x$
T 13: (UNICAMP) Inequação logarítmica
Enunciado: O conjunto solução de $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) \leq 3$ é:
A) $[1, 3]$ B) $(1, 3]$ C) $(-3, -1) \cup (1, 3]$ D) $(1, 3)$ E) $\emptyset$
Enunciado: O gráfico de $f(x) = \log_3(x + 2)$ é obtido a partir do gráfico de $g(x) = \log_3 x$ por:
A) Uma translação de 2 unidades para cima
B) Uma translação de 2 unidades para a direita
C) Uma translação de 2 unidades para a esquerda
D) Uma reflexão seguida de translação
E) Um escalonamento por fator 2
Resposta: C
$f(x) = \log_3(x + 2) = \log_3(x - (-2))$
A substituição $x \to x + 2$ corresponde a uma translação horizontal de $-2$, ou seja, 2 unidades para a esquerda.
Verificação: o zero de $g$ é $x = 1$; o zero de $f$ é $x = -1 = 1 - 2$ ✓
A assíntota de $g$ é $x = 0$; a de $f$ é $x = -2 = 0 - 2$ ✓