3º Ano | Aula: Logaritmo — Definição, Propriedades e Aplicações
O logaritmo responde à pergunta: "a que potência devo elevar a base $a$ para obter $b$?". É a operação inversa da potenciação — assim como a divisão é a inversa da multiplicação.
Definição: $\log_a b = x \;\Longleftrightarrow\; a^x = b \quad (a>0,\; a\neq1,\; b>0)$
Propriedades fundamentais: $\;\log_a(M\cdot N)=\log_a M+\log_a N$ | $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$ | $\log_a M^k = k\cdot\log_a M$
Mudança de base: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
O logaritmo é a operação inversa da potenciação. Se $a^x = b$, então $x$ é o logaritmo de $b$ na base $a$:
$$\log_a b = x \;\;\Longleftrightarrow\;\; a^x = b$$
BASE: $a$ LOGARITMANDO: $b$ LOGARITMO: $x$ (resultado)
Condições obrigatórias: $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$
| Forma Exponencial | Forma Logarítmica | Leitura |
|---|---|---|
| $2^3 = 8$ | $\log_2 8 = 3$ | "Log de 8 na base 2 é 3" |
| $10^2 = 100$ | $\log 100 = 2$ | "Log de 100 é 2" (base 10 subentendida) |
| $3^{-2} = \frac{1}{9}$ | $\log_3 \frac{1}{9} = -2$ | "Log de 1/9 na base 3 é −2" |
| $5^0 = 1$ | $\log_5 1 = 0$ | "Log de 1 em qualquer base é 0" |
| $4^{1/2} = 2$ | $\log_4 2 = \frac{1}{2}$ | "Log de 2 na base 4 é 1/2" |
| $e^1 = e$ | $\ln e = 1$ | "Log natural de e é 1" |
| Condição | Motivo | Consequência da violação |
|---|---|---|
| $b > 0$ | $a^x$ é sempre positivo (para $a>0$) | $\log_2(-4)$ — não existe em $\mathbb{R}$ |
| $a > 0$ | Base negativa gera potências não-reais | $(-4)^{1/2} = \sqrt{-4}$ — indefinido em $\mathbb{R}$ |
| $a \neq 1$ | $1^x = 1$ sempre — log seria ambíguo | $\log_1 1$ poderia ser qualquer número |
Pois $a^0 = 1$ para qualquer base $a$. O log de 1 é sempre zero.
Pois $a^1 = a$. O log da base na própria base é sempre 1.
Aplicar a exponencial e o log são operações que se cancelam.
Pois $a^n$ tem como expoente $n$. Ex: $\log_2 2^7 = 7$.
Quando a base é 10, omite-se o índice: $\log_{10} b = \log b$. É o logaritmo das calculadoras científicas e das escalas Richter e pH.
| $b$ | $\log b$ | Justificativa |
|---|---|---|
| $0{,}01$ | $-2$ | $10^{-2} = 0{,}01$ |
| $0{,}1$ | $-1$ | $10^{-1} = 0{,}1$ |
| $1$ | $0$ | $10^0 = 1$ |
| $10$ | $1$ | $10^1 = 10$ |
| $100$ | $2$ | $10^2 = 100$ |
| $1000$ | $3$ | $10^3 = 1000$ |
| $\sqrt{10}$ | $0{,}5$ | $10^{0,5} = \sqrt{10}$ |
$\ln b = \log_e b$, onde $e \approx 2{,}71828...$ (número de Euler). Fundamental em cálculo, física e biologia. Em calculadoras aparece como tecla ln.
As propriedades dos logaritmos derivam diretamente das propriedades das potências. São a principal ferramenta para simplificar expressões e resolver equações.
P1 — Produto: $\;\log_a(M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$
P2 — Quociente: $\;\log_a\dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$
P3 — Potência: $\;\log_a M^k = k \cdot \log_a M$
P4 — Raiz: $\;\log_a \sqrt[n]{M} = \dfrac{1}{n}\log_a M$
P5 — Base Recíproca: $\;\log_{1/a} b = -\log_a b$
P6 — Inverso: $\;\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$
Seja $\log_a M = p$ e $\log_a N = q$. Então $M = a^p$ e $N = a^q$.
$M \cdot N = a^p \cdot a^q = a^{p+q}$
Aplicando o logaritmo: $\log_a(M \cdot N) = p + q = \log_a M + \log_a N$ $\square$
Exemplo 1: Calcule $\log_2 6 + \log_2 \dfrac{8}{3}$
$= \log_2\!\left(6 \cdot \dfrac{8}{3}\right) = \log_2 16 = \log_2 2^4 = \mathbf{4}$
Exemplo 2: Simplifique $3\log 2 + \log 5 - \log 4$
$= \log 2^3 + \log 5 - \log 4 = \log\dfrac{8 \cdot 5}{4} = \log 10 = \mathbf{1}$
Exemplo 3: Calcule $\log_4 32$
Mudança de base: $\log_4 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 4} = \dfrac{5}{2} = \mathbf{2{,}5}$
A fórmula de mudança de base permite converter qualquer logaritmo para uma base de trabalho conveniente (geralmente base 10 ou base $e$, que estão nas calculadoras):
$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\log b}{\log a}$$
A base $c$ pode ser qualquer base válida ($c > 0$, $c \neq 1$).
Exemplo 1: Calcule $\log_5 7$ (usando base 10)
$\log_5 7 = \dfrac{\log 7}{\log 5} \approx \dfrac{0{,}845}{0{,}699} \approx \mathbf{1{,}209}$
Exemplo 2: Simplifique $\dfrac{\log_3 8}{\log_3 2}$
$= \log_2 8 = 3$ (pois $\frac{\log_c M}{\log_c N} = \log_N M$)
| Logaritmo | Em base 10 | Valor aproximado |
|---|---|---|
| $\log_4 8$ | $\dfrac{\log 8}{\log 4} = \dfrac{3\log 2}{2\log 2}$ | $= \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ |
| $\log_8 4$ | $\dfrac{\log 4}{\log 8} = \dfrac{2\log 2}{3\log 2}$ | $= \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$ |
| $\log_2 3$ | $\dfrac{\log 3}{\log 2} \approx \dfrac{0{,}477}{0{,}301}$ | $\approx 1{,}585$ |
| $\log_2 10$ | $\dfrac{1}{\log 2} \approx \dfrac{1}{0{,}301}$ | $\approx 3{,}322$ |
A função logarítmica $f(x) = \log_a x$ é a inversa da função exponencial $g(x) = a^x$. Seus gráficos são simétricos em relação à reta $y = x$.
| Propriedade | $a > 1$ (crescente) | $0 < a < 1$ (decrescente) |
|---|---|---|
| Domínio | $(0, +\infty)$ | $(0, +\infty)$ |
| Imagem | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
| Zero da função | $x = 1$ | $x = 1$ |
| Quando $x \to 0^+$ | $f(x) \to -\infty$ | $f(x) \to +\infty$ |
| Quando $x \to +\infty$ | $f(x) \to +\infty$ | $f(x) \to -\infty$ |
| Sinal: $f(x) > 0$ | $x > 1$ | $0 < x < 1$ |
| Sinal: $f(x) < 0$ | $0 < x < 1$ | $x > 1$ |
$\log_a f(x) = k \;\Rightarrow\; f(x) = a^k \quad$ (e verificar $f(x) > 0$)
Exemplo: Resolva $\log_3(2x-1) = 2$
$2x-1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x = 5$
Verificação: $2(5)-1=9>0$ ✓ $S=\{5\}$
$\log_a f(x) = \log_a g(x) \;\Rightarrow\; f(x) = g(x) \quad$ (e verificar $f(x)>0$ e $g(x)>0$)
Exemplo: Resolva $\log_2(x+5) = \log_2(2x+1)$
$x+5=2x+1 \Rightarrow x=4$
Verificação: $9>0$ e $9>0$ ✓ $S=\{4\}$
Exemplo: Resolva $(\log x)^2 - 3\log x + 2 = 0$
Seja $t = \log x$: $t^2-3t+2=0 \Rightarrow (t-1)(t-2)=0$
$t=1 \Rightarrow x=10$ | $t=2 \Rightarrow x=100$
$S = \{10;\; 100\}$
Exemplo: Resolva $\log x + \log(x-3) = 1$
$\log[x(x-3)]=1 \Rightarrow x(x-3)=10 \Rightarrow x^2-3x-10=0$
$x=5$ ✓ | $x=-2$ (descartado, pois $-2 \not> 0$)
$S = \{5\}$
A chave é analisar a monotonia: logaritmo com $a>1$ é crescente (mantém a desigualdade); com $0 Base $a > 1$ (crescente — mantém $>$): $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Rightarrow f(x) > g(x)$ Base $0 < a < 1$ (decrescente — inverte!): $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Rightarrow f(x) < g(x)$ ⚠️ Sempre incluir a condição de existência: $f(x) > 0$ e $g(x) > 0$ Exemplo 1 (base $>1$): Resolva $\log_3(2x-1) < 2$ Exemplo 2 (base $<1$, inversão): Resolva $\log_{1/2}(x+1) \geq -3$
Existência: $2x-1>0 \Rightarrow x>\frac{1}{2}$
Base $3>1$, mantém: $2x-1 < 9 \Rightarrow x < 5$
Interseção: $S = \left(\dfrac{1}{2},\; 5\right)$
Existência: $x+1>0 \Rightarrow x>-1$
Base $\frac{1}{2}<1$, inverte: $x+1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8 \Rightarrow x \leq 7$
Interseção: $S = (-1,\; 7]$
Inequação Base $a > 1$ Base $0 < a < 1$ $\log_a f(x) > k$ $f(x) > a^k$ (e $f(x)>0$) $0 < f(x) < a^k$ $\log_a f(x) < k$ $0 < f(x) < a^k$ $f(x) > a^k$ (e $f(x)>0$) $\log_a f > \log_a g$ $f(x) > g(x)$ (ambos $>0$) $f(x) < g(x)$ (ambos $>0$) ⚠️
$M = \log\dfrac{A}{A_0}$. Cada ponto na escala representa 10 vezes mais amplitude de onda. Um terremoto de magnitude 7 tem amplitude $10^2 = 100$ vezes maior que um de magnitude 5.
$\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}$. Uma conversa (~60 dB) tem $10^6$ vezes mais intensidade que o limiar auditivo. O logaritmo comprime essa escala enorme em números manejáveis.
$\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$. Suco de limão: pH $\approx 2$ (ácido). Água pura: pH $= 7$ (neutro). O sinal negativo inverte: mais íons H⁺ → pH menor.
Capital dobra em $t = \dfrac{\log 2}{\log(1+i)}$ períodos. Regra dos 72: dividindo 72 pela taxa % obtém-se aproximadamente o tempo de duplicação.
Enunciado: Calcule: (a) $\log_2 64$ (b) $\log_5 \dfrac{1}{25}$ (c) $\log_{\sqrt{3}} 9$ (d) $\log_{0{,}1} 1000$
Resolução:
(a) $\log_2 64 = \log_2 2^6 = \mathbf{6}$
(b) $\log_5 \frac{1}{25} = \log_5 5^{-2} = \mathbf{-2}$
(c) $\log_{\sqrt{3}} 9 = \log_{3^{1/2}} 3^2 = \dfrac{2}{1/2} = \mathbf{4}$
(d) $\log_{0{,}1} 1000 = \log_{10^{-1}} 10^3 = \dfrac{3}{-1} = \mathbf{-3}$
Enunciado: Simplifique $3\log 2 + \log 5 - \log 4$.
Resolução:
$= \log 2^3 + \log 5 - \log 4 = \log 8 + \log 5 - \log 4$
$= \log\dfrac{8 \cdot 5}{4} = \log 10 = \mathbf{1}$
Enunciado: Resolva $\log_4(3x+1) = \dfrac{3}{2}$.
Resolução:
$3x+1 = 4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$
$3x = 7 \Rightarrow x = \dfrac{7}{3}$
Verificação: $3 \cdot \frac{7}{3}+1 = 8 > 0$ ✓ $S = \left\{\dfrac{7}{3}\right\}$
Enunciado: Resolva $(\log x)^2 = \log x^3$.
Resolução:
$(\log x)^2 = 3\log x$
Seja $t = \log x$: $t^2 - 3t = 0 \Rightarrow t(t-3) = 0$
$t=0 \Rightarrow x = 1$ | $t=3 \Rightarrow x = 1000$
Verificação: $x=1>0$ ✓ e $x=1000>0$ ✓
$S = \{1;\; 1000\}$
Enunciado: Um terremoto A tem magnitude 6 e outro B tem magnitude 8 na escala Richter. Quantas vezes a amplitude de B é maior que a de A?
Resolução:
$M = \log\dfrac{A}{A_0}$
Terremoto A: $\dfrac{A_A}{A_0} = 10^6$ | Terremoto B: $\dfrac{A_B}{A_0} = 10^8$
Razão: $\dfrac{A_B}{A_A} = \dfrac{10^8}{10^6} = 10^2 = \mathbf{100}$
O terremoto B tem amplitude 100 vezes maior que o A.
Enunciado: Sabendo que $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 3 \approx 0{,}477$, calcule:
(a) $\log 6$ (b) $\log 18$ (c) $\log\sqrt{12}$ (d) $\log_4 9$
Enunciado: Resolva $\log_2(x^2 - 2x) = 3$.
Enunciado: Resolva $\log_{1/3}(x-1) < -2$.
Enunciado: Um capital é aplicado à taxa de 10% ao ano em juros compostos. Em quantos anos ele dobra? (Use $\log 2 \approx 0{,}301$ e $\log 1{,}1 \approx 0{,}041$)
Enunciado: O suco de limão tem $[\text{H}^+] = 10^{-2{,}4}$ mol/L. Calcule o pH e classifique. Se diluirmos 10 vezes com água, qual o novo pH?
Enunciado: Se $\log_2 3 = a$ e $\log_2 5 = b$, o valor de $\log_2 150$ é:
A) $a + b + 1$ B) $a + 2b + 1$ C) $2a + b + 1$ D) $a + b + 2$ E) $2a + 2b$
Enunciado: Uma solução tem pH = 5. Após adição de ácido, o pH cai para 3. Quantas vezes a concentração de íons H⁺ aumentou?
A) 2 B) 10 C) 100 D) 1000 E) 50
Enunciado: O conjunto solução de $\log_3(x^2 - 3x + 3) = 1$ é:
A) $\{0, 3\}$ B) $\{1, 2\}$ C) $\{-1, 4\}$ D) $\{0, 1\}$ E) $\emptyset$
Enunciado: O valor de $\log_4 8 + \log_8 4$ é:
A) $\dfrac{5}{6}$ B) $\dfrac{13}{6}$ C) $2$ D) $\dfrac{17}{6}$ E) $\dfrac{7}{4}$
Enunciado: Qual das afirmativas é VERDADEIRA sobre $f(x) = \log_3 x$?
A) O domínio é $\mathbb{R}$ B) A imagem é $[0, +\infty)$ C) $f(9) = 2$ D) $f$ é decrescente E) $f(1) = 1$