2º Ano | Aula: Inequações do 1º e 2º Grau
Uma inequação é uma sentença matemática que expressa uma relação de desigualdade entre duas expressões, usando os sinais $<$, $>$, $\leq$ ou $\geq$. Diferente das equações, as inequações possuem como solução um conjunto (intervalo) de valores, e não um valor isolado.
As inequações do 1º grau têm solução em forma de semirreta na reta numérica. As do 2º grau têm solução obtida pelo estudo do sinal da parábola associada.
Uma inequação é uma expressão do tipo:
$f(x) < 0$ | $f(x) > 0$ | $f(x) \leq 0$ | $f(x) \geq 0$
O conjunto de todos os valores de $x$ que satisfazem a inequação é chamado de conjunto solução, representado em intervalos ou na reta numérica.
| Símbolo | Leitura | Intervalo aberto/fechado |
|---|---|---|
| $a < x < b$ | $x$ está entre $a$ e $b$ (excluindo) | $(a, b)$ — aberto |
| $a \leq x \leq b$ | $x$ está entre $a$ e $b$ (incluindo) | $[a, b]$ — fechado |
| $x > a$ | $x$ maior que $a$ | $(a, +\infty)$ |
| $x \leq a$ | $x$ menor ou igual a $a$ | $(-\infty, a]$ |
Tem a forma $ax + b > 0$ (ou $<$, $\leq$, $\geq$), com $a \neq 0$. A solução é um intervalo infinito.
Método de resolução:
Exemplo: Resolver $3x - 6 > 0$
$3x > 6 \;\Rightarrow\; x > 2 \;\Rightarrow\; S = (2, +\infty)$
Exemplo com inversão de sinal: Resolver $-2x + 4 \geq 0$
$-2x \geq -4 \;\Rightarrow\; x \leq 2 \;\Rightarrow\; S = (-\infty, 2]$
Tem a forma $ax^2 + bx + c > 0$ (ou $<$, $\leq$, $\geq$), com $a \neq 0$. A solução é encontrada pelo estudo do sinal da função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$.
Método:
| Inequação | $a > 0$ e $\Delta > 0$ | $a < 0$ e $\Delta > 0$ |
|---|---|---|
| $f(x) > 0$ | $x < x_1$ ou $x > x_2$ | $x_1 < x < x_2$ |
| $f(x) < 0$ | $x_1 < x < x_2$ | $x < x_1$ ou $x > x_2$ |
| $f(x) \geq 0$ | $x \leq x_1$ ou $x \geq x_2$ | $x_1 \leq x \leq x_2$ |
| $f(x) \leq 0$ | $x_1 \leq x \leq x_2$ | $x \leq x_1$ ou $x \geq x_2$ |
| $\Delta$ | Raízes | $f(x) > 0$ com $a > 0$ | $f(x) < 0$ com $a > 0$ |
|---|---|---|---|
| $\Delta = 0$ | Raiz dupla $x_0$ | $x \neq x_0$ (todo $x$ exceto $x_0$) | Impossível (conjunto vazio $\emptyset$) |
| $\Delta < 0$ | Sem raízes reais | Todo $x \in \mathbb{R}$ | Impossível ($\emptyset$) |
A solução de uma inequação do 2º grau é representada na reta numérica. Veja a diferença entre intervalos abertos e fechados:
Ao projetar uma caixa, inequações garantem que as dimensões sejam viáveis (ex.: comprimento $> 0$) e que o volume fique dentro de um limite máximo exigido pelo transporte.
A concentração de um medicamento no sangue ao longo do tempo é modelada por funções. Inequações determinam o intervalo de tempo em que a concentração é eficaz e segura.
Empresas usam inequações para determinar a quantidade mínima de produtos a vender para não ter prejuízo: $\text{receita} > \text{custo}$, ou seja, $L(x) > 0$.
Enunciado: Resolva e represente na reta numérica: $5x - 10 > 0$
Resolução:
$5x > 10$
$x > 2$
$S = (2, +\infty)$
Reta numérica: círculo aberto em 2, seta para a direita.
Enunciado: Resolva: $-3x + 9 \leq 0$
Resolução:
$-3x \leq -9$ (subtraindo 9 de ambos os lados)
Dividindo por $-3$ e invertendo o sinal:
$x \geq 3$
$S = [3, +\infty)$
Enunciado: Resolva: $x^2 - 5x + 6 < 0$
Resolução:
Raízes: $\Delta = 25 - 24 = 1$
$x = \dfrac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow x_1 = 2,\; x_2 = 3$
Como $a = 1 > 0$, a parábola abre para cima.
$f(x) < 0$ entre as raízes:
$S = (2, 3)$
Enunciado: Resolva: $-x^2 + 4x - 3 \geq 0$
Resolução:
$a = -1$, $b = 4$, $c = -3$
$\Delta = 16 - 12 = 4$
$x = \dfrac{-4 \pm 2}{-2} \Rightarrow x_1 = 1,\; x_2 = 3$
Como $a = -1 < 0$, a parábola abre para baixo.
$f(x) \geq 0$ entre as raízes (incluindo):
$S = [1, 3]$
Enunciado: Resolva: $x^2 + 2x + 5 > 0$
Resolução:
$a = 1$, $b = 2$, $c = 5$
$\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$
Como $\Delta < 0$ e $a = 1 > 0$, a parábola não intercepta o eixo $x$ e está completamente acima dele.
Portanto $f(x) > 0$ para todo $x$ real:
$S = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$
Enunciado: Resolva e indique o conjunto solução em intervalo: $4x + 12 \leq 0$
Enunciado: Resolva: $-5x - 15 < 0$
Enunciado: Resolva: $x^2 - 7x + 10 \leq 0$
Enunciado: Para quais valores de $x$ temos $-2x^2 + 6x - 4 < 0$?
Enunciado: Resolva: $x^2 - 6x + 9 > 0$
O conjunto solução da inequação $2x - 3 > x + 1$ é:
A) $x > -4$ B) $x < 4$ C) $x > 4$ D) $x < -4$ E) $x > 2$
Um estudante precisa de uma média final maior que 6 para ser aprovado. Nas três primeiras provas ele tirou 5, 7 e 4. Qual deve ser a nota mínima (inteira) na quarta prova?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 6
O conjunto solução de $x^2 - x - 6 > 0$ é:
A) $(-2, 3)$ B) $[-3, 2]$ C) $(-\infty, -2) \cup (3, +\infty)$ D) $(-3, 2)$ E) $(-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$
Resolva o sistema: $\begin{cases} x + 2 > 0 \\ x^2 - 4 < 0 \end{cases}$
A) $(-2, 2)$ B) $x > -2$ C) $(-2, 0)$ D) $(0, 2)$ E) $\emptyset$
Para que a inequação $x^2 - 2x + k > 0$ seja válida para todo $x \in \mathbb{R}$, o valor de $k$ deve satisfazer:
A) $k > 0$ B) $k \geq 1$ C) $k > 1$ D) $k < 1$ E) $k = 1$