2º Ano | Aula: Função do 2º Grau (Função Quadrática)
A Função do 2º Grau (ou função quadrática) é toda função $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^2 + bx + c$, com $a, b, c \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Seu gráfico é sempre uma parábola, que abre para cima quando $a > 0$ e para baixo quando $a < 0$.
Estudar essa função é fundamental para resolver problemas de máximos e mínimos, trajetórias, áreas e diversas situações do cotidiano.
A forma geral da função quadrática é:
$$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$$
Cada coeficiente tem um papel no comportamento da função:
| Coeficiente | Papel | Exemplo de efeito |
|---|---|---|
| a | Concavidade e abertura da parábola | $a > 0$: abre para cima; $a < 0$: abre para baixo |
| b | Inclinação e posição do eixo de simetria | Influencia o vértice horizontalmente |
| c | Interseção com o eixo $y$ | $f(0) = c$ |
O vértice $V(x_V, y_V)$ é o ponto de máximo (se $a < 0$) ou mínimo (se $a > 0$) da parábola:
$$x_V = \frac{-b}{2a} \qquad y_V = \frac{-\Delta}{4a}$$
onde $\Delta = b^2 - 4ac$ (discriminante)
O eixo de simetria é a reta vertical $x = x_V$, que divide a parábola em duas metades iguais.
As raízes são os valores de $x$ onde $f(x) = 0$. São calculadas pela Fórmula de Bhaskara:
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad \text{com} \quad \Delta = b^2 - 4ac$$
O valor de $\Delta$ (delta) determina a quantidade de raízes reais:
| Condição | Raízes | Gráfico |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | Dois valores reais distintos: $x_1 \neq x_2$ | Parábola corta o eixo $x$ em 2 pontos |
| $\Delta = 0$ | Uma raiz real dupla: $x_1 = x_2$ | Parábola toca (tangencia) o eixo $x$ |
| $\Delta < 0$ | Nenhuma raiz real | Parábola não toca o eixo $x$ |
O valor máximo ou mínimo da função é sempre $y_V = \dfrac{-\Delta}{4a}$.
O sinal de $f(x)$ (positivo ou negativo) depende do coeficiente $a$ e das raízes:
| Caso | $f(x) > 0$ (positivo) | $f(x) < 0$ (negativo) |
|---|---|---|
| $a > 0$, $\Delta > 0$ (raízes $x_1 < x_2$) | $x < x_1$ ou $x > x_2$ | $x_1 < x < x_2$ |
| $a < 0$, $\Delta > 0$ (raízes $x_1 < x_2$) | $x_1 < x < x_2$ | $x < x_1$ ou $x > x_2$ |
| $\Delta \leq 0$, $a > 0$ | Todo $x \in \mathbb{R}$ (exceto vértice se $\Delta=0$) | Nunca |
A trajetória de uma bola lançada segue uma parábola. A altura em função do tempo é descrita por uma função quadrática, permitindo calcular o ponto mais alto atingido (vértice).
Empresas usam funções quadráticas para maximizar o lucro: o preço de venda que gera maior receita é encontrado calculando o vértice da parábola de lucro.
Os cabos de pontes pênseis e os arcos de pontes têm formato parabólico. Engenheiros usam funções quadráticas para calcular tensão e dimensionar estruturas.
Enunciado: Dada $f(x) = 3x^2 - 6x + 2$, identifique os coeficientes $a$, $b$ e $c$, e determine se a parábola abre para cima ou para baixo.
Resolução:
Comparando com $ax^2 + bx + c$:
$a = 3$, $b = -6$, $c = 2$
Como $a = 3 > 0$, a parábola abre para cima e o vértice é ponto de mínimo.
Enunciado: Encontre as coordenadas do vértice de $f(x) = x^2 - 4x + 3$.
Resolução:
$a = 1$, $b = -4$, $c = 3$
$x_V = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \dfrac{4}{2} = 2$
$\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 12 = 4$
$y_V = \dfrac{-\Delta}{4a} = \dfrac{-4}{4} = -1$
Portanto, o vértice é $V(2, -1)$.
Enunciado: Resolva $x^2 - 5x + 6 = 0$ usando a fórmula de Bhaskara.
Resolução:
$a = 1$, $b = -5$, $c = 6$
$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$
$x = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$
$x_1 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3 \qquad x_2 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$
As raízes são $x_1 = 3$ e $x_2 = 2$.
Enunciado: A altura (em metros) de uma bola lançada é dada por $h(t) = -5t^2 + 20t$, onde $t$ é o tempo em segundos. Qual é a altura máxima atingida e quando ocorre?
Resolução:
$a = -5 < 0 \Rightarrow$ parábola abre para baixo, logo o vértice é ponto de máximo.
$t_V = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-20}{2 \cdot (-5)} = \dfrac{-20}{-10} = 2\text{ s}$
$h(2) = -5(4) + 20(2) = -20 + 40 = 20\text{ m}$
A altura máxima é 20 metros, atingida em $t = 2$ s.
Enunciado: Determine os valores de $x$ para os quais $f(x) = x^2 - x - 6$ é negativa.
Resolução:
Primeiro, encontramos as raízes: $\Delta = 1 + 24 = 25$
$x = \dfrac{1 \pm 5}{2}$, logo $x_1 = -2$ e $x_2 = 3$
Como $a = 1 > 0$, a parábola abre para cima, portanto $f(x) < 0$ entre as raízes:
$f(x) < 0$ para $-2 < x < 3$.
Enunciado: Para a função $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$, determine os coeficientes e a concavidade da parábola.
Enunciado: Calcule as coordenadas do vértice de $f(x) = 2x^2 - 8x + 6$.
Enunciado: Resolva $2x^2 - 3x - 2 = 0$.
Enunciado: O lucro (em reais) de uma empresa ao vender $x$ produtos é dado por $L(x) = -x^2 + 10x - 16$. Quantos produtos devem ser vendidos para maximizar o lucro? Qual é o lucro máximo?
Enunciado: Determine o valor de $k$ para que $f(x) = x^2 - 6x + k$ tenha exatamente uma raiz real.
O vértice da parábola $y = x^2 - 4x + 5$ tem coordenadas:
A) $(2, 1)$ B) $(-2, 17)$ C) $(2, -1)$ D) $(4, 5)$ E) $(1, 2)$
A trajetória de um projétil é dada por $h(x) = -\dfrac{x^2}{40} + x$, onde $h$ é a altura em metros e $x$ é a distância horizontal. A altura máxima atingida é:
A) 5 m B) 10 m C) 20 m D) 40 m E) 80 m
A inequação $x^2 - 3x - 10 < 0$ tem como solução:
A) $x < -2$ ou $x > 5$ B) $-5 < x < 2$ C) $-2 < x < 5$ D) $x < -5$ ou $x > 2$ E) $-2 \leq x \leq 5$
Numa equação $2x^2 - 6x + 4 = 0$, a soma $x_1 + x_2$ e o produto $x_1 \cdot x_2$ das raízes valem, respectivamente:
A) $3$ e $2$ B) $-3$ e $2$ C) $6$ e $4$ D) $3$ e $-2$ E) $-6$ e $4$
Para que a equação $x^2 + 2x + (k + 2) = 0$ não tenha raízes reais, o valor de $k$ deve satisfazer:
A) $k > -1$ B) $k < -1$ C) $k > 1$ D) $k < 1$ E) $k = -1$