MATEMÁTICA EM

1º Ano | Aula 04: Função do 1º Grau (Afim)

📚 Resumo:

A função do 1º grau, ou função afim, é aquela cuja lei de formação pode ser escrita como:

$f(x) = ax + b$

  • Coeficiente Angular ($a$): Define a inclinação da reta.
  • Coeficiente Linear ($b$): Define onde a reta cruza o eixo $y$.
  • Gráfico: Uma reta (sempre!).

📖 O que é uma Função do 1º Grau?

A Função Afim é um dos conceitos mais importantes da matemática, pois modela situações de crescimento ou decrescimento constante. Se você paga um valor fixo por um serviço mais um valor variável por hora, você está lidando com uma função do 1º grau.

1. O Papel do Coeficiente angular

O comportamento da reta é ditado pelo valor de $a$:

  • Função Crescente ($a > 0$): Conforme o valor de $x$ aumenta, o valor de $y$ também aumenta.
  • Função Decrescente ($a < 0$): Conforme o valor de $x$ aumenta, o valor de $y$ diminui.
  • Função Constante ($a = 0$): O gráfico é uma reta horizontal.
A inclinação da reta depende diretamente do sinal do coeficiente angular.
Figura 1: A inclinação da reta depende diretamente do sinal do coeficiente angular $a$.

2. O Papel do Coeficiente Linear ($b$)

O coeficiente $b$ é chamado de "ordenada na origem". Ele indica exatamente o ponto $(0, b)$ onde a reta intercepta o eixo vertical ($y$). Se $b=0$, a função é chamada de Função Linear e passa obrigatoriamente pela origem $(0,0)$.

A posição da intersecção da reta com o eixo y depende diretamente do valor e do sinal do coeficiente linear b.
Figura 2: O coeficiente linear $b$ determina o ponto de intersecção da reta com o eixo das ordenadas ($y$).

3. Zero ou Raiz da Função

O zero da função é o valor de $x$ que faz com que $f(x) = 0$.

$$ax + b = 0 \implies x = -\frac{b}{a}$$

💡 Matemática em Ação

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O preço da corrida é uma função afim! Existe um valor fixo (bandeirada) somado ao valor variável por quilômetro rodado.

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Sua conta de água ou luz possui uma "taxa de disponibilidade" (fixo) mais o custo por cada $m^3$ ou $kWh$ consumido.

💻 Simulação Interativa: Gráfico da Função

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✅ 5 Questões Resolvidas (R 1 a 5)

R 1: Identificação de Coeficientes

Enunciado: Na função $f(x) = -5x + 8$, identifique os coeficientes $a$ e $b$ e classifique a função em crescente ou decrescente.

Resolução: Comparando com $f(x) = ax + b$:

  • $a = -5$
  • $b = 8$

Como $a < 0$, a função é decrescente.

R 2: Cálculo da Raiz

Enunciado: Determine o zero da função $f(x) = 4x - 12$.

Resolução: Para achar o zero, fazemos $f(x) = 0$:

$$4x - 12 = 0 \implies 4x = 12 \implies x = \frac{12}{4} = 3$$

O gráfico corta o eixo $x$ no ponto $(3, 0)$.

R 3: Intersecção com o Eixo Y

Enunciado: Em qual ponto a reta da função $f(x) = \frac{1}{2}x - 5$ corta o eixo das ordenadas ($y$)?

Resolução: Uma função corta o eixo $y$ no valor do coeficiente linear $b$.

Como $b = -5$, o ponto de intersecção é $(0, -5)$.

R 4: Construção da Lei de Formação

Enunciado: Determine a lei da função do 1º grau que passa pelos pontos $(0, 3)$ e $(1, 5)$.

Resolução: Se passa em $(0, 3)$, então $b = 3$.

Usando o ponto $(1, 5)$ na fórmula $f(x) = ax + 3$:

$5 = a(1) + 3 \implies a = 5 - 3 \implies a = 2$.

A lei é $f(x) = 2x + 3$.

R 5: Problema Contextualizado

Enunciado: O custo de produção de uma fábrica é $R\$ 500,00$ fixos mais $R\$ 10,00$ por peça. Qual o custo para produzir 80 peças?

Resolução: A função custo é $C(x) = 10x + 500$.

Para $x = 80$:

$$C(80) = 10(80) + 500 = 800 + 500 = 1300$$

O custo é de $R\$ 1.300,00$.

✍️ 5 Questões Propostas (P 6 a 10)

P 6: Análise de Gráfico

Enunciado: Uma função afim tem $a = 3$ e passa pelo ponto $(2, 10)$. Qual o valor de $b$?

Resolução: Substituímos na fórmula $y = ax + b$:

$$10 = 3(2) + b \implies 10 = 6 + b \implies b = 4$$

P 7: Zero da Função Negativa

Enunciado: Determine a raiz da função $f(x) = -3x - 9$.

Resolução: $$-3x - 9 = 0 \implies -3x = 9 \implies x = \frac{9}{-3} \implies x = -3$$

P 8: Valor de Função Afim

Enunciado: Se $f(x) = 2x + b$ e $f(3) = 10$, qual o valor de $f(5)$?

Resolução: Primeiro achamos $b$: $10 = 2(3) + b \implies b = 4$.

Agora calculamos $f(5)$ com a lei $f(x) = 2x + 4$:

$$f(5) = 2(5) + 4 = 14$$

P 9: Comparação de Planos

Enunciado: O Plano A cobra $R\$ 30$ fixos e $R\$ 2$ por hora. O Plano B cobra apenas $R\$ 5$ por hora. A partir de quantas horas o Plano A é mais barato?

Resolução: Montamos as funções: $A(x) = 2x + 30$ e $B(x) = 5x$.

Queremos $A(x) < B(x)$:

$$2x + 30 < 5x \implies 30 < 3x \implies 10 < x$$

O Plano A é mais barato para mais de 10 horas.

P 10: Variação de Coeficiente

Enunciado: Se aumentarmos o valor de $a$ na função $f(x) = ax + b$, o que acontece com a inclinação da reta no gráfico?

Resolução: A reta fica mais inclinada em relação ao eixo $x$ (sobe mais rápido se for positiva ou desce mais bruscamente se for negativa).

🎓 TESTES (T 11 a 15)

T 11: AMAUC-SC (Problema de Compras)

Em uma feira de ciências, Pedro comprou 2 cadernos e 1 caneta por um total de R\$ 11,00. Em outra barraca, Mariana adquiriu 3 cadernos e 2 canetas do mesmo tipo dos comprados por Pedro, pagando R\$ 19,00. Quanto custou cada item?

A) O caderno custou R\$ 4,00 e a caneta custou R\$ 3,00.
B) O caderno custou R\$ 5,00 e a caneta custou R\$ 1,00.
C) O caderno custou R\$ 2,00 e a caneta custou R\$ 7,00.
D) O caderno custou R\$ 3,00 e a caneta custou R\$ 5,00.
E) O caderno custou R\$ 3,50 e a caneta custou R\$ 4,00.

Resolução: Alternativa D.

Vamos chamar o preço do caderno de $x$ e o da caneta de $y$. Montamos o sistema:

1) $2x + 1y = 11$ (Compra de Pedro)
2) $3x + 2y = 19$ (Compra de Mariana)

Isolando $y$ na primeira equação: $y = 11 - 2x$.

Substituindo na segunda:
$3x + 2(11 - 2x) = 19$
$3x + 22 - 4x = 19$
$-x = 19 - 22 \implies -x = -3 \implies x = 3$ (Preço do Caderno).

Substituindo o valor de $x$ para achar $y$:
$y = 11 - 2(3) \implies y = 11 - 6 \implies y = 5$ (Preço da Caneta).

T 12: UNESC (Análise de Funções)

Laura administra a venda de kits de eletricidade para uma oficina escolar. Em cada evento, há um valor fixo de R\$ 150,00 e cada kit é vendido por R\$ 18,00. Em determinado evento, o valor total arrecadado foi de R\$ 474,00. Com base nessas informações, analise as assertivas a seguir:

I. A relação entre o valor arrecadado e a quantidade de kits vendidos pode ser expressa por $150 + 18x = 474$.
II. O termo $18x$ representa o valor total obtido com a venda dos kits.
III. A equação indica que foram vendidos 18 kits.
IV. Se tivessem sido vendidos 20 kits, o valor arrecadado seria superior a R\$ 574,00.

Está CORRETO o que se afirma em:

A) II, III e IV, apenas.
B) II e IV, apenas.
C) III e IV, apenas.
D) I, II e III, apenas.
E) I e II, apenas.

Resolução: Alternativa E (ou apenas I e II conforme análise abaixo).

Análise das assertivas:
• I (Correta): A função do custo total é $f(x) = 150 + 18x$. Igualando ao total arrecadado: $150 + 18x = 474$.
• II (Correta): $18$ é o preço por unidade e $x$ a quantidade, logo $18x$ é o faturamento variável dos kits.
• III (Incorreta): Resolvendo a equação: $18x = 474 - 150 \implies 18x = 324 \implies x = 18$. (Atenção: embora o resultado seja 18, a equação em si indica a relação, a quantidade vendida é o valor de $x$ encontrado).
• IV (Incorreta): Para 20 kits: $150 + 18(20) = 150 + 360 = 510$. O valor R\$ 510,00 não é superior a R\$ 574,00.

T 13: FGV (Lucro e Produção)

O lucro mensal de uma fábrica é dado por $L(x) = 20x - 5000$, onde $x$ é a quantidade de produtos vendidos. Qual a quantidade mínima de vendas para que a fábrica não tenha prejuízo?

A) 200
B) 250
C) 300
D) 500
E) 600

Resolução: Não ter prejuízo significa Lucro $\geq 0$.
$20x - 5000 \geq 0 \implies 20x \geq 5000 \implies x \geq 250$. Alternativa B.

T 14: FUVEST (Geometria e Álgebra)

Uma reta passa pelos pontos $(1, 2)$ e $(3, 8)$. O coeficiente angular desta reta é:

A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 7

Resolução: O coeficiente angular $a$ é dado por $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:
$a = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$. Alternativa B.

T 15: VUNESP (Análise de Gráfico)

Seja $f(x) = ax + b$. Sabendo que $f(1) = 5$ e $f(-3) = -7$, o valor de $f(0)$ é:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Resolução: $f(0)$ é o valor de $b$.
1) $a + b = 5$
2) $-3a + b = -7$
Subtraindo (1)-(2): $4a = 12 \implies a = 3$.
Substituindo em (1): $3 + b = 5 \implies b = 2$. Alternativa B.